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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 So 31.05.2015 | | Autor: | Emma23 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Zykloide mit Radius 1 [mm] \gamma(t)=\vektor{t-a*sin(t) \\ 1-a*cos(t)}.
[/mm]
a)Bestimmen Sie diejenigen Werte für a und t, für die die Geschwindigkeit [mm] \gamma^{*} [/mm] der Zykloide Null ist.
b) Zeigen Sie, dass die Beschleunigung zum Zeitpunkt t stets in Richtung des Mittelpunktes des Kreises mit Radius 1 zum Zeitpunkt t zeigt. |
Hallo :)
Ich brauche mal etwas Hilfe bei der Teilaufgabe b).
Bei a) habe ich t=0 und a=1 raus, aber wie mache ich das mit der Beschleunigung?
Vielen Dank schon mal für eure Hilfe
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 So 31.05.2015 | | Autor: | hippias |
> Gegeben sei die Zykloide mit Radius 1
> [mm]\gamma(t)=\vektor{t-a*sin(t) \\ 1-a*cos(t)}.[/mm]
> a)Bestimmen
> Sie diejenigen Werte für a und t, für die die
> Geschwindigkeit [mm]\gamma^{*}[/mm] der Zykloide Null ist.
> b) Zeigen Sie, dass die Beschleunigung zum Zeitpunkt t
> stets in Richtung des Mittelpunktes des Kreises mit Radius
> 1 zum Zeitpunkt t zeigt.
> Hallo :)
> Ich brauche mal etwas Hilfe bei der Teilaufgabe b).
> Bei a) habe ich t=0 und a=1 raus,
Das ist sicher nicht die vollstaendige Loesungsmenge.
> aber wie mache ich das
> mit der Beschleunigung?
Beschleunigung ist die zweite Ableitung von [mm] $\gamma$ [/mm] nach $t$.
>
> Vielen Dank schon mal für eure Hilfe
> LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 So 31.05.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Gegeben sei die Zykloide mit Radius 1
> [mm]\gamma(t)=\vektor{t-a*sin(t) \\ 1-a*cos(t)}.[/mm]
> a)Bestimmen
> Sie diejenigen Werte für a und t, für die die
> Geschwindigkeit [mm]\gamma^{*}[/mm] der Zykloide Null ist.
> b) Zeigen Sie, dass die Beschleunigung zum Zeitpunkt t
> stets in Richtung des Mittelpunktes des Kreises mit Radius
> 1 zum Zeitpunkt t zeigt.
> Hallo :)
> Ich brauche mal etwas Hilfe bei der Teilaufgabe b).
> Bei a) habe ich t=0 und a=1 raus,
$a=1$ ist wohl richtig, da sich nur in einer Spitze (Singularität) die Geschwindigkeit Null ergibt und Spitzen dann entstehen, wenn die Ortskurve eines Umfangspunktes des Kreises betrachtet wird.
Allerdings tritt da nicht nur für $t=0$ eine Spitze auf. Jedenfalls ist in der Angabe, so wie du sie angegeben hast, keine Einschränkung der Grundmenge vorgenommen worden, sodass wir von $t [mm] \in \IR$ [/mm] auszugehen haben.
> aber wie mache ich das mit der Beschleunigung?
Ist dir klar, von welchem Kreis hier die Rede ist - also wie du dir die kinematische Erzeugung der Kurve vorzustellen hast und welche Bedeutung dabei der Größe $a$ zukommt? Falls nicht, könnte die beigefügte Animation mehr Klarheit verschaffen.
Jedenfalls sollst du bei b) bloß nachrechnen, dass der Beschleunigungsvektor (wie von hippias angegeben die zweite Ableitung von [mm] $\gamma(t)$ [/mm] ) immer gleich dem Vektor vom Kurvenpunkt [mm] ($\gamma(t)$) [/mm] zum Mittelpunkt des erzeugenden Rollkreises ist.
Wenn du dir überlegst, wo sich der Kreismittelpunkt zum Zeitpunkt t befindet (und t ist hier eigentlich keine Zeit sondern die Länge des abgerollten Kreisbogens), dann sollte das eigentlich recht einfach sein.
Gruß RMix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: avi) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 So 31.05.2015 | | Autor: | Emma23 |
Aber warum gilt einfach [mm] t\in\IR? [/mm] Die Spitzen sind doch nur da für [mm] t=2*\pi*n [/mm] für [mm] t\in\IZ, [/mm] oder sehe ich das falsch?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:25 Mo 01.06.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Aber warum gilt einfach [mm]t\in\IR?[/mm] Die Spitzen sind doch nur
> da für [mm]t=2*\pi*n[/mm] für [mm]t\in\IZ,[/mm] oder sehe ich das falsch?
>
Du meinst hoffentlich $n [mm] \in \IZ$!
[/mm]
Mein $t [mm] \in \IR$ [/mm] hat sich auf die Grundmenge bezogen. In der Angabe hätte ja auch stehen können, dass die Betrachtungen für $t [mm] \in [/mm] [0; [mm] 2\pi[$ [/mm] vorzunehmen ist. Da wäre dann dein ursprüngliches $t=0$ die vollständige Lösung gewesen.
Da aber keine derartige Einschränkung gegeben war, mussten wir von [mm] $t\in\IR$ [/mm] (für die Grundmenge) ausgehen, und dafür hast du jetzt ja tatsächlich alle Lösungen angegeben.
Gruß RMix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:12 Mo 01.06.2015 | | Autor: | Emma23 |
Und irgendwie verstehe ich b) immer noch nicht.
Also als Ableitungen habe ich
[mm] \gamma'(t)=\vektor{1-a*cos(t) \\ a*sin(t)}
[/mm]
[mm] \gamma''(t)=\vektor{a*sin(t) \\ a*cos(t)}
[/mm]
Ich kann mir das alles aber irgendwie nicht so richtig vorstellen und verstehe immer noch nicht wirklich, was ich genau machen soll. Der Kreismittelpunkt ist doch immer bei (0,5/t) oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:33 Mo 01.06.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Und irgendwie verstehe ich b) immer noch nicht.
> Also als Ableitungen habe ich
> [mm]\gamma'(t)=\vektor{1-a*cos(t) \\ a*sin(t)}[/mm]
>
> [mm]\gamma''(t)=\vektor{a*sin(t) \\ a*cos(t)}[/mm]
>
Alles OK bis hierher.
> Ich kann mir das alles aber irgendwie nicht so richtig
> vorstellen und verstehe immer noch nicht wirklich, was ich
> genau machen soll. Der Kreismittelpunkt ist doch immer bei
> (0,5/t) oder nicht?
Nein! Der Kreismittelpunkt hat die Koordinaten (t;1) (schau dir nochmal meine Animation an.
Der Ortsvektor zum Kurvenpunkt P ist also
[mm]\overrightarrow{OP}=\vektor{t-a*sin(t) \\ 1-a*cos(t)}[/mm],
der Ortsvektor zum Kreismittelpunkt M ist
[mm] $\overrightarrow{OM}=\vektor{t \\ 1}$.
[/mm]
Wie berechnest du nun [mm] $\overrightarrow{PM}$ [/mm] und hat das dann irgend etwas mit [mm]\gamma''(t)[/mm] zu tun 
Gruß RMix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:32 Mo 01.06.2015 | | Autor: | Emma23 |
Man benötigt also den Abstand zwischen dem Punkt P und dem Mittelpunkt M.
Das bedeutet [mm] \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OP} [/mm] und daraus erhalten wir genau unseren Beschleunigungsvektor!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Mo 01.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Man benötigt also den Abstand zwischen dem Punkt P und dem
> Mittelpunkt M.
> Das bedeutet [mm]\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OP}[/mm] und
> daraus erhalten wir genau unseren Beschleunigungsvektor!
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:31 Mo 01.06.2015 | | Autor: | Emma23 |
Also ich habe jetzt einfach mal Werte in den Beschleunigungsvektor eingesetzt für t:
[mm] t=\bruch{\pi}{2}: \vektor{1 \\ 0}
[/mm]
[mm] t=\pi: \vektor{0 \\ -1}
[/mm]
[mm] t=\bruch{3}{2}\pi: \vektor{-1 \\ 0}
[/mm]
[mm] T=2*\pi: \vektor{0 \\ 1}
[/mm]
und somit zeigt die Beschleunigung immer in Richtung des Mittelpunktes. Reicht das, wenn ich dazu noch die passende Skizze zeichne?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:19 Mo 01.06.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Also ich habe jetzt einfach mal Werte in den
> Beschleunigungsvektor eingesetzt für t:
> [mm]t=\bruch{\pi}{2}: \vektor{1 \\ 0}[/mm]
> [mm]t=\pi: \vektor{0 \\ -1}[/mm]
>
> [mm]t=\bruch{3}{2}\pi: \vektor{-1 \\ 0}[/mm]
> [mm]T=2*\pi: \vektor{0 \\ 1}[/mm]
>
> und somit zeigt die Beschleunigung immer in Richtung des
> Mittelpunktes. Reicht das, wenn ich dazu noch die passende
> Skizze zeichne?
Das denke ich nicht, vor allem wo es doch wesentlich einfacher geht.
Die Aussage mit dem Beschleunigungsvektor ist unabhängig von der ersten Aufgabe, gilt also für beliebige Werte von a und an jeder Stelle t. Da reicht es keinesfalls, wenn du es für ein bestimmtes a an drei oder vier Stellen nachweist.
Gruß RMix
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