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Zykloiden Tangenten berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:52 Di 12.01.2010
Autor: bOernY

Aufgabe
Berechnen Sie die Punkte (x, y) mit waagerechter und senkrechter Tangente zu:

a) x(t)=R(t-sin(t))
y(t)=R(1-cos(t))
b) [mm] r(\varphi)=1+cos(\varphi) [/mm]

Bei der Aufgabe a hätte ich jetzt eigentlich einfach die erste Ableitung gebildet und die Extremwerte ausgerechnet. Aber irgendwie sind ja zwei Funktionen gegeben? Wenn ich ehrlich bin kann ich nichts damit anfangen.

Aufgabe b ist eine Funktion in Polarkoordinaten, soweit bin ich schon gekommen. Aber wie man das löst weiß ich auch nicht.

Ich würde mich über jeden Tipp freuen!

        
Bezug
Zykloiden Tangenten berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:48 Mi 13.01.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> Berechnen Sie die Punkte (x, y) mit waagerechter und
> senkrechter Tangente zu:
>  
> a) x(t)=R(t-sin(t))
>  y(t)=R(1-cos(t))
>  b) [mm]r(\varphi)=1+cos(\varphi)[/mm]
>  
> Bei der Aufgabe a hätte ich jetzt eigentlich einfach die
> erste Ableitung gebildet und die Extremwerte ausgerechnet.
> Aber irgendwie sind ja zwei Funktionen gegeben? Wenn ich
> ehrlich bin kann ich nichts damit anfangen.
>  
> Aufgabe b ist eine Funktion in Polarkoordinaten, soweit bin
> ich schon gekommen. Aber wie man das löst weiß ich auch
> nicht.
>  
> Ich würde mich über jeden Tipp freuen!


Hallo bOernY,

bei einer Kurve in Polardarstellung der Form

     $\ t\ [mm] \to [/mm] \ [mm] \begin{cases}\ x(t)\\ \ y(t)\end{cases} [/mm] $

liegt an der Stelle [mm] t=t_0 [/mm] eine waagrechte Tangente
vor, falls  [mm] $\frac{d y(t)}{d t}\,(t_0)=0$ [/mm]  und  [mm] $\frac{d x(t)}{d t}\,(t_0)\not=0$ [/mm] .

Ist [mm] $\frac{d x(t)}{d t}\,(t_0)=0$ [/mm]  und  [mm] $\frac{d y(t)}{d t}\,(t_0)\not=0$ [/mm] , so liegt eine senk-
rechte Tangente vor.

Sind bei [mm] t=t_0 [/mm] allenfalls sogar beide Ableitungen
gleich Null, so ist eine weitergehende Untersuchung
angezeigt.


LG   Al-Chw.



Bezug
        
Bezug
Zykloiden Tangenten berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:58 Mi 13.01.2010
Autor: bOernY

Wenn ich ganz ehrlich bin kann ich damit nicht wirklich etwas anfangen. Tut mir leid.
Wofür genau steht [mm] t_0? [/mm] Für die Nullstellen? Und wie genau bilde ich ein Differential? Ich habe bis jetzt einfach nur die Ableitungen via Ableitungsregeln gebildet. Oder ist das so gemeint:

[mm] \bruch{y'(t)}{x'(t)}=0 [/mm]

Also einen Quotienten aus den Ableitungen bilden und diesen dann gleich 0 setzen und folglich nach t auflösen?

Und was genau muss ich bei b machen?
Da ist ja nur eine Funktion gegeben. Einfach nach [mm] \varphi [/mm] ableiten und dann die Extremwerte ausrechnen?



Bezug
                
Bezug
Zykloiden Tangenten berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:07 Mi 13.01.2010
Autor: fred97

Gegeben hast Du eine Kurve durch die Zuordnung

        $t [mm] \to [/mm] (x(t),y(t))$ ,

wobei der Parameter t meist aus einem Interval I [mm] \subseteq \IR [/mm] stammt.

Was Al Dir schon gesagt hat, drücke ich mal etwas anders aus:

Ist [mm] t_0 \in [/mm] I und gilt

            [mm] $y'(t_0)=0, x'(t_0) \not= [/mm] 0$,

so hat die Kurve im Punkt [mm] (x(t_0),y(t_0)) [/mm] eine waagrechte Tangente.

Ist

[mm] $y'(t_0)\not=0, x'(t_0)= [/mm] 0$,

so hat die Kurve im Punkt [mm] (x(t_0),y(t_0)) [/mm] eine senkrechte Tangente.

FRED





Bezug
                
Bezug
Zykloiden Tangenten berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:36 Mi 13.01.2010
Autor: Al-Chwarizmi


>  Wofür genau steht [mm] t_0? [/mm]

für einen bestimmten t-Wert (bei dem dann eine
waagrechte bzw. eine senkrechte Tangente heraus-
kommen soll)

> Für die Nullstellen?

nein
  

> Und wie genau bilde ich ein Differential? Ich habe bis jetzt
> einfach nur die Ableitungen via Ableitungsregeln gebildet.
> Oder ist das so gemeint:
>  
> [mm]\bruch{y'(t)}{x'(t)}=0[/mm]

So kannst du's auch sagen (für waagrechte Tangente)
  

> Also einen Quotienten aus den Ableitungen bilden und diesen
> dann gleich 0 setzen und folglich nach t auflösen?    [ok]
>  
> Und was genau muss ich bei b machen?
> Da ist ja nur eine Funktion gegeben. Einfach nach [mm]\varphi[/mm]
> ableiten und dann die Extremwerte ausrechnen?

  
Diese Polardarstellung kann man in ein Paar von
Gleichungen für [mm] x(\varphi) [/mm] und [mm] y(\varphi) [/mm] zerlegen, und damit
hast du die gleiche Art Aufgabe wie im ersten
Beispiel:

       $\ [mm] x(\varphi)\ [/mm] =\ [mm] r(\varphi)*cos(\varphi)$ [/mm]

       $\ [mm] y(\varphi)\ [/mm] =\ [mm] r(\varphi)*sin(\varphi)$ [/mm]


LG    Al-Chw.

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