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| Aufgabe | Es seien [mm]l,n \in\IN\sub, l \le n[/mm]. Gegebn sei ein Zyklus [mm] f = (v_1 v_2 ... v_l) \in S_n[/mm] der Länge [mm]l[/mm]. Zeigen Sie:
[mm] f^l = id_{\{1,...,n\}}[/mm] |
Hallo MatheForum,
anschaulich ist mir das ganze klar. Wenn man den Zyklus l mal anwendet werden alle Zahlen durchgetauscht so dass jede Zahl wieder auf ihrem Platz steht.
Ich bin aber nicht in der Lage das "Mathe-Professor-Gerecht" auszudrücken.
Habt ihr da eine Idee?
Gruß
zweimaldreimachtvier
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 Mi 29.08.2012 | | Autor: | hippias |
In solchen Faellen ist oft Induktion der Schluessel zum strengen Beweis. Mein Vorschlag waere induktiv zu zeigen, dass die Eintrage des Zykels bei $k$-maliger Multiplikation mit sich selbst um genau $k$ Stellen verschoben werden. Damit solltest Du alle Quengeleien im Keim ersticken koennen.
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moin,
Wie hippias schon sagte ist Induktion eine gute Idee.
Dazu solltest du noch bedenken, dass es sich hier streng genommen um Abbildungen handelt.
Und zwei Abbildungen sind genau dann gleich, wenn ihre Definitions- und Wertebereiche übereinstimmen und sie für jedes Element aus dem Definitionsbereich dasselbe tun.
Möchtest du es also vollkommen sauber und vollständig zeigen dann sage als erstes, dass Def. und Wertebereich gleich sind (und wieso) und dann nimm dir ein beliebiges Element aus dem Definitionsbereich, setze es in beide Abbildungen ein und zeige (etwa durch Induktion), dass bei beiden dasselbe rauskommt.
Hierbei ist eine Fallunterscheidung, ob ein Element $a$ aus dem Definitionsbereich von $f$ bewegt wird oder ob $f(a) = a$ gilt recht hilfreich.
lg
Schadow
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Ich habe mir was ausgedacht:
[mm]g: M \to M[/mm] mit [mm]M= \{v_1,v_2,...v_l\}[/mm]
[mm]g(v_i)=\begin{cases} v_{i+1}, & \mbox{für } i < l \\ v_1, & \mbox{für } i = l \end{cases}[/mm]
für [mm]i=l=1[/mm] gilt: [mm]g(v_1)^1 = v_1[/mm]
für [mm]l=m, 1 \le i \le m[/mm] gilt: [mm]g(v_i)^{m-i} = v_1[/mm] und [mm]g(v_1)^i = v_i[/mm] also [mm]g(v_i)^{m-i+i=l} = v_i [/mm]
So richtig schön finde ich das aber noch nicht! Was meint ihr dazu?
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Hmm...
> Ich habe mir was ausgedacht:
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> [mm]g: M \to M[/mm] mit [mm]M= \{v_1,v_2,...v_l\}[/mm]
>
> [mm]g(v_i)=\begin{cases} v_{i+1}, & \mbox{für } i < l \\ v_1, & \mbox{für } i = l \end{cases}[/mm]
Hier nimmst du einen Zykel der maximalen Länge, dieser bewegt die gesamte Menge $M$.
Aber könnte nicht auch zum Beispiel in der [mm] $S_{10}$ [/mm] ein Zykel der Länge $5$ zu betrachten sein?
Also betrachte das mal allgemein für keinen Zykel der Länge $k$ als Element der [mm] $S_n$, [/mm] wobei $1 [mm] \leq [/mm] k [mm] \leq [/mm] n$.
> für [mm]i=l=1[/mm] gilt: [mm]g(v_1)^1 = v_1[/mm]
> für [mm]l=m, 1 \le i \le m[/mm]
> gilt: [mm]g(v_i)^{m-i} = v_1[/mm] und [mm]g(v_1)^i = v_i[/mm] also
> [mm]g(v_i)^{m-i+i=l} = v_i[/mm]
>
> So richtig schön finde ich das aber noch nicht! Was meint
> ihr dazu?
Nein, es geht hübscher.
Schon allein weil das in der Form keine Induktion ist.
Bei einer Induktion ist die genaue Einhaltung der Form mindestens genau soviel wert wie die richtige Rechnung.
Also versuche mal das ganze komplett vollständig aufzuschreiben:
Welche Aussage möchtest du zeigen?
Wie wirst du sie zeigen?
Induktionsanfang, Induktionsvoraussetzung, Induktionsschluss.
Es ist leider ein weit verbreiteter Irrglaube, dass man Beweise immer super kurz halten müsse.
Vor allem in diesem Fall sind ein paar Worte der Erklärung, ein wenig Text durchaus hilfreich (natürlich nicht abschweifen^^).
Wenn du alles ganz sauber und ausführlich aufschreibst könnte dir das auch helfen einige Dinge besser zu verstehen oder die Probleme und Fehler deutlicher zu sehen.
lg
Schadow
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nächster Versuch:
Sei [mm]g: M \to M [/mm] mit [mm] M = \{v_1,v_2,...v_n\}[/mm]
[mm]
g(v_i)=\begin{cases} v_i, & \mbox{für } i > l \\ v_{(i\ mod \ l) +1}, & \mbox{für sonst} \end{cases}
[/mm]
IA:
[mm] l = 1[/mm] dann ist: [mm] g(v_i)^1 = v_i [/mm]
weil für [mm] v_i [/mm] mit [mm] i > l[/mm] sofort die Behauptung folgt
oder [mm] i = 1[/mm] gilt und damit [mm] 1 = i = 1\ mod\ 1 + 1= 0 +1 = 1[/mm] gilt.
IV:
Für ein beliebiges [mm]l[/mm] gilt [mm] g(v_i)^l [/mm] = [mm] v_i
[/mm]
IS:
[mm] l = n+1[/mm] dann ist [mm] g(v_i)^l = v_i [/mm]
weil für [mm] v_i [/mm] mit [mm] i > l[/mm] sofort die Behauptung folgt
oder weil [mm]i[/mm] um [mm] (n+1) [/mm] erhöht wird und dann [mm] (n+1) + i \ mod \ (n+1) = i[/mm] da [mm] i < (n+1)[/mm]
hmm ist das besser?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 Do 20.09.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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