Zyklus/ Umlaufzahl zeichnen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:40 Di 12.07.2022 | | Autor: | nkln |
| Aufgabe | Es sei [mm] $\gamma:[0,2]\to \mathbb{C}, [/mm] t [mm] \mapsto 2t+2i\sin( \pi [/mm] t)$. Zeichnen Sie den Zyklus [mm] $\Gamma= \gamma+[4,0]$ [/mm] und tragen Sie die Umlaufzahlen [mm] $n_\Gamma$ [/mm] in die entsprechende Zusammenhangskomponente ein.
Berechnen Sie anschließend das Integral
[mm] $\integral_{\Gamma}{\frac{e^{i \pi z}}{(z-1-i)(z-3+i)} dz}$ [/mm] |
kann mir jemand sagen, wie ich den Zyklus zeichne? ich habe keine Ahnung, wie ich vorgehen soll?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Di 12.07.2022 | | Autor: | fred97 |
Hier
siehst du die Spur von [mm] \gamma:
[/mm]
https://www.wolframalpha.com/input?i=parametric+plot+%282t%2C+2sin+%28+pi+t%29%29%2C+t%3D0..2
Nun noch zurück von 4 zu 0, dann hast Du [mm] \Gamma.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Di 12.07.2022 | | Autor: | nkln |
Hi Fred,
ist so die weiterführende Zeichnung richtig?
[Dateianhang nicht öffentlich]
ich habe beim Plot gesehen, dass da nur [mm] $sin(\pi [/mm] t)$ steht anstatt [mm] $2i*\sin(\pi [/mm] t)$ macht das einen Unterschied? wie ist außerdem die Pfeilrichtung?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Di 12.07.2022 | | Autor: | fred97 |
> Hi Fred,
>
> ist so die weiterführende Zeichnung richtig?
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> ich habe beim Plot gesehen, dass da nur [mm]sin(\pi t)[/mm] steht
> anstatt [mm]2i*\sin(\pi t)[/mm] macht das einen Unterschied?
Ja, ich hab es inzwischen verbessert. Schau Dir den Plot nochmal an.
In Deiner Skizze solltest Du dann den Bogen nach unten zwischen 0 und 2 und den Bogen nach oben zwischen 2 und 4 entfernen.
Mit "zurück von 4 bis 0" meinte ich längs der reellen Achse, so verstehe ich jedenfalls die Notation $ [mm] \Gamma= \gamma+[4,0] [/mm] $.
> wie ist
> außerdem die Pfeilrichtung?
>
Starte von 0 entlang der sinusförmigen Kurve bis zu 4 und dann zurück auf der reellen achse bis 0.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Di 12.07.2022 | | Autor: | nkln |
Hi,
danke für die Hilfe!
ich habe die umlaufzahl mal eingetragen
[Dateianhang nicht öffentlich]
kann ich das so machen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Di 12.07.2022 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> danke für die Hilfe!
>
> ich habe die umlaufzahl mal eingetragen
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> kann ich das so machen?
Ja, das kannst du
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Di 12.07.2022 | | Autor: | nkln |
Hi Fred,
wieso ist bei $t=3$ der funktionswert $-2i$ ?
wenn ich [mm] $\gamma:[0,2]\to \mathbb{C},t \mapsto [/mm] 2t+2i [mm] \sin(\pi [/mm] t)$ benutze und dort $y(3)$ ist das doch gar nicht definiert,da der Definitionsbereich von [mm] $\gamma$ [/mm] doch nur $[0,2]$ ist? Aber in der Abbildung ist $t=3$ der funktionswert $-2i$,wieso?
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> Hi Fred,
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> wieso ist bei [mm]t=3[/mm] der funktionswert [mm]-2i[/mm] ?
>
> wenn ich [mm]\gamma:[0,2]\to \mathbb{C},t \mapsto 2t+2i \sin(\pi t)[/mm]
> benutze und dort [mm]y(3)[/mm] ist das doch gar nicht definiert,da
> der Definitionsbereich von [mm]\gamma[/mm] doch nur [mm][0,2][/mm] ist? Aber
> in der Abbildung ist [mm]t=3[/mm] der funktionswert [mm]-2i[/mm],wieso?
Du verwechselst einiges.
Mit Funktionswert meinst du anscheinend nicht den Integranden, sondern den Imaginärteil des Weges.
Die Stelle, von der du sprichst, entspricht nicht t=3. t geht tatsächlich nur von 0 bis 2.
Wenn t=1,5 [mm] \in [/mm] [0|2] ist, ist [mm] 2t+2isin(\pi [/mm] t)= [mm] 3+2isin(1,5\pi)=3+2i*(-1)=3-2i. [/mm] Dort ist der x-Wert (nicht der t-Wert) 3 und der y-Wert -2.
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> Hi,
>
> danke für die Hilfe!
>
> ich habe die umlaufzahl mal eingetragen
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> kann ich das so machen?
Man kann die Integration nun in zwei Teile Zerlegen:
1. Teil: Obere Sinuskurve bis x=2, dann auf der x-Achse zurück zum Ursprung.
Die Singularität wird dabei rechtsdrehend umkreist und hat damit die Umlaufzahl -1 und nicht 1.
2. Teil: Untere Sinuskurve von x=2 bis x=4, dann auf der x-Achse zurück zu x=2.
Die Singularität wird dabei linkssdrehend umkreist und hat damit die Umlaufzahl 1.
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Zur Kontrolle:
Für die "linke" Singularität erhalte ich das Residuum [mm] e^{-\pi}(1+i)/4, [/mm] für die "rechte" [mm] -e^{\pi}(1+i)/4. [/mm]
Die Summe unter Berücksichtigung des Umlaufssinns gibt [mm] -e^{\pi}(1+i)/4 [/mm] - [mm] e^{-\pi}(1+i)/4 [/mm] = [mm] -(e^{\pi}+e^{-\pi})(1+i)/4, [/mm] das Integral dann
[mm] \pi(e^{\pi}+e^{-\pi})(1-i)/2=\pi cosh(\pi)(1-i).
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:17 Mi 13.07.2022 | | Autor: | nkln |
wie kann ich das Integral dann berechnen? mit Residuensätze? ich bekomme keinen Ansatz hin..:/
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> wie kann ich das Integral dann berechnen? mit
> Residuensätze? ich bekomme keinen Ansatz hin..:/
Genau!
Der Integrationsweg besteht doch aus den beiden von mir erläuterten Umkreisungen:
Links im Bild rechtsdrehend das Umkreisen der einfachen Singularität 1+i, rechts im Bild linksdrehend der einfachen Singularität 3-i.
Also hat das Integral für den linken Kreis den Wert
[mm] -2\pi [/mm] i*Res(i+1) und rechts [mm] 2\pi [/mm] i*Res(3-i).
Bestimme beide Residuen und addiere die Werte.
Hinweis:
Ist f(z)=g(z)/h(z) und hat h bei a eine einfache Nullstelle (die g nicht hat), so ist
Res(a)=f(a)/g'(a).
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