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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Mo 28.11.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo zusammen
Ich habe mal eine Frage zu der folgenden Aufgabe:
Skizziere:
[mm] A=\{(x,y,z) | x,y \ge 0, 0 \le z \le 2, \wurzel{x^2+y^2} \le z+3 \}
[/mm]
[mm] B=\{(x,y,z) | y \le 0, x,z \ge 0, x^2+y^2+z^2=1 \}
[/mm]
und beschreibe die Mengen in geeigneten Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten...
Ich möchte nun zunächst zur Menge A kommen und hoffe ich kann veranschaulichen, was ich mir bei folgender Skizze gedacht habe:
Ich wähle Zylinderkoordinaten.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Meine Ideen:
0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 2 [mm] \rightarrow [/mm] z liegt zwischen 0 und 2.
[mm] \wurzel{x^2+y^2}=z+3 \rightarrow [/mm] 3 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 5 [mm] \rightarrow [/mm] r liegt zwischen 3 und 5.
Es gilt somit Fall 1:
[mm] \wurzel{x^2+y^2}=3 [/mm] für x=3 und y=0 oder x=0 und y=3
Es gilt somit Fall 2:
[mm] \wurzel{x^2+y^2}=5 [/mm] für x=5 und y=0 oder x=0 und y=5
Ich vermute nun auch schon, dass ein Zylinder ensteht, aus dem etwas ,,herausgebohrt" wurde. Womit ich mich nun ein wenig schwer tuhe, ist der Winkel [mm] \varphi.
[/mm]
Es gilt ja allgemein für Zylinderkoordinaten:
x=r [mm] \cdot [/mm] cos [mm] \varphi
[/mm]
[mm] \rightarrow \varphi=arcsin\bruch{x}{r} [/mm] und deshalb entweder [mm] \varphi=arcsin [/mm] 1=0 oder [mm] \varphi=arccos 0=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
y=r [mm] \cdot [/mm] sin [mm] \varphi
[/mm]
[mm] \rightarrow \varphi=arccos\bruch{x}{r} [/mm] und deshalb entweder [mm] \varphi=arcsin 1=\bruch{\pi}{2} [/mm] oder [mm] \varphi=arcsin [/mm] 0=0
Doch leider tuhe ich mich nun schwer damit diesen Winkel in meine Skizze einzutragen bzw. wie muss ich den Abstand r eintragen. Kann mir das Dreidimensional gerade nur sehr schwer vorstellen...
mfg thadod
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 Mo 28.11.2011 | | Autor: | abakus |
Hallo,
[mm]\wurzel{x^2+y^2}=r[/mm] ist ein Kreis um die z-Achse herum.
Diese Kreise werden von unten nach oben größer (r=3 bis r=5).
Somit handelt es sich um einen Kegelstumpf. Die Beschränkung auf positive x,y schneidet nun von diesem Kegelstumpf ein Viertel aus.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Mo 28.11.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo und danke für die Hilfe.
Ich habe nun nocheinmal alles überarbeitet und hoffe, dass alles so in Ordnung ist.
Hier noch einmal die Aufgabe:
Skizziere
[mm] A=\{(x,y,z) | x,y \ge 0, 0 \le z \le 2, \wurzel{x^2+y^2} \le z+3 \}
[/mm]
[mm] B=\{(x,y,z) | y \le 0, x,z \ge 0, x^2+y^2+z^2=1 \}
[/mm]
und beschreibe die Mengen in geeigneten Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten...
Ich habe folgendes für die Menge A geschrieben:
Ich verwende die Zylinderkoordinaten.
[Dateianhang nicht öffentlich]
und schreibe statt den Kartesischen Koordinaten folgendes für die Zylinderkoordinaten:
[mm] \{(r cos \varphi, r sin \varphi, z) | 0 \le r \le 5, 0 \le \varphi \le \bruch{\pi}{2}, 0\le z \le 2 \}
[/mm]
Ich habe folgendes für die Menge B geschrieben:
Ich verwende die Kugelkoordinaten.
[Dateianhang nicht öffentlich]
und schreibe statt den Kartesischen Koordinaten folgendes für die Kugelkoordinaten:
[mm] \{(r cos \varphi sin \theta, r sin \varphi sin \theta, r cos \theta) | 0 \le r \le 1, \bruch{3\pi}{2} \le \varphi \le 2\pi, 0 \le \theta \le \bruch{\pi}{2} \}
[/mm]
Wäre cool, wenn das eventuell jmd. estätigen könnte. Würde mich sehr über jede hilfe freuen.
mfg thadod
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo thadod,
> Hallo und danke für die Hilfe.
>
> Ich habe nun nocheinmal alles überarbeitet und hoffe, dass
> alles so in Ordnung ist.
>
> Hier noch einmal die Aufgabe:
>
> Skizziere
> [mm]A=\{(x,y,z) | x,y \ge 0, 0 \le z \le 2, \wurzel{x^2+y^2} \le z+3 \}[/mm]
>
> [mm]B=\{(x,y,z) | y \le 0, x,z \ge 0, x^2+y^2+z^2=1 \}[/mm]
> und
> beschreibe die Mengen in geeigneten Zylinderkoordinaten und
> Kugelkoordinaten...
>
> Ich habe folgendes für die Menge A geschrieben:
>
> Ich verwende die Zylinderkoordinaten.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
[mm]ok[/mm]
> und schreibe statt den Kartesischen Koordinaten folgendes
> für die Zylinderkoordinaten:
>
> [mm]\{(r cos \varphi, r sin \varphi, z) | 0 \le r \le 5, 0 \le \varphi \le \bruch{\pi}{2}, 0\le z \le 2 \}[/mm]
>
Das stimmt nicht ganz. Es muss [mm]0 \le r \le z+3[/mm] gelten.
Damit ist die Menge wie folgt zu schreiben:
[mm]\{(r,\varphi, z) | 0 \le \varphi \le \bruch{\pi}{2}, 0\le z \le 2, \ \blue{0 \le r \le z+3} \}[/mm]
> Ich habe folgendes für die Menge B geschrieben:
>
> Ich verwende die Kugelkoordinaten.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
Der Bereich von x erstreckt sich doch über die ganze Kugel.
> und schreibe statt den Kartesischen Koordinaten folgendes
> für die Kugelkoordinaten:
>
> [mm]\{(r cos \varphi sin \theta, r sin \varphi sin \theta, r cos \theta) | 0 \le r \le 1, \bruch{3\pi}{2} \le \varphi \le 2\pi, 0 \le \theta \le \bruch{\pi}{2} \}[/mm]
>
Auch hier:
[mm]\{(r,\varphi, \theta) | 0\le r \le 1,\bruch{3\pi}{2} \le \varphi \le 2\pi, 0\le \theta \le \bruch{\pi}{2} \}[/mm]
Das ist nur ein Teil der Wahrheit.
> Wäre cool, wenn das eventuell jmd. estätigen könnte.
> Würde mich sehr über jede hilfe freuen.
>
> mfg thadod
Gruss
MathePower
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