Zylinder auf Schiefer Ebene < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Zylinder der Masse M und dem Radius R, dessen Massendichte p(r) = [mm] \bruch{p_{0}r}{R} [/mm] vom Abstand r zur Zylinderachse abhängt, rollt eine schiefe Ebene mit dem Neigungswinkel [mm] \alpha [/mm] hinunter, ohne zu rutschen.
A) Leiten Sie den Ausdruck für das Trägheitsmoment [mm] I_{S} [/mm] des Zylinder bzgl. der Zylinderachse in Abhängigkeit von M und R her. Gehen Sie bei der Herleitung vom Ausdruck für das Trägheitsmoment eines starren Körpers für eine beliebige Massendichteverteilung [mm] p(\vec{R}) [/mm] aus. Berechnen Sie dann das Trägheitsmoment [mm] dI_{S} [/mm] eines dünnen Hohlzylinders mit dem Radius r und der Wandstärke dr und abschließend das Trägheitsmoment des gesamten Zylinders.
B) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für eine Drehbewegung um die Kontaktlinie Zylinder/Ebene auf. Geben Sie hierfür zunächst (i) das Trägheitsmoment des Zylinders [mm] I_{P} [/mm] (ii) und das Drehmoment [mm] D_{P}, [/mm] das auf den Zylinder wirkt, bzgl. der Kontaktlinie und in Abhängigkeit von M und R an.
c) Leiten Sie mit Hilfe der Bewegungsgleichung aus b) den Ausdruck für die Beschleunigung des Schwerpunktes [mm] a_{S} [/mm] in Abhängigkeit vom M, R und [mm] \alpha [/mm] her. |
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Hallo,
Diese Aufgabe macht mich wirklich fertig.
Zu A) der Ausdruck für das Trägheitsmoments bei homogener Massendichte wäre ja I= [mm] \bruch{1}{2}mr^{2}. [/mm] Ich kann diesen erklären. Aber wie schreibe ich das Ganze um für die nicht homogene Massendichte?
Zu B) Ich verstehe überhaupt nicht was es mit der "Drehungum die Kontaktlinie" auf sich hat! Was soll die kontaktlinie sein?
Zu C) Ohne B) kann ich auch C) nicht lösen.
Vielen Dank im Vorraus.
Eddy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Sa 22.01.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo,
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> Diese Aufgabe macht mich wirklich fertig.
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> Zu A) der Ausdruck für das Trägheitsmoments bei homogener
> Massendichte wäre ja I= [mm]\bruch{1}{2}mr^{2}.[/mm] Ich kann
> diesen erklären. Aber wie schreibe ich das Ganze um für
> die nicht homogene Massendichte?
der allgemeine Ausdruck ist:
[mm] $J=\int r^2\varrho(\vec{r})\,\mathrm{d}V$
[/mm]
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> Zu B) Ich verstehe überhaupt nicht was es mit der
> "Drehungum die Kontaktlinie" auf sich hat! Was soll die
> kontaktlinie sein?
Die Kontaktlinie ist die Linie auf der der Zylinder die Ebene berührt. Eine Kugel hätte nur in einem Punkt Kontakt zum Boden, ein Zylinder hat eben auf einer Linie Kontakt. In der technischen Mechanik nennt man diesen Punkt/Linie auch Momentanpol.
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> Zu C) Ohne B) kann ich auch C) nicht lösen.
>
Probier erstmal die ersten beiden zu lösen.
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> Vielen Dank im Vorraus.
>
> Eddy
Gruß,
notinX
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Ich habe für A) aufgeschrieben:
[mm] I_{S}=2\pi [/mm] eh [mm] \integral_{0}^{R}{r^{3} dr} [/mm] = [mm] \bruch{\pi eh }{2} [/mm] ( [mm] R^4) [/mm] mit e=Dichtequotient dann folgt: [mm] I_{S}=\bruch{1}{2} MR^{2} [/mm] mit [mm] M=\pi [/mm] e h [mm] R^{2}
[/mm]
[mm] dI_{S}= M\integral_{R-dr}^{R}{r^{3} dr} [/mm] = [mm] MR^{2} [/mm] mit [mm] M=2\pi [/mm] Rdre weil dr << R
in der Rechnung dazwische verstehe ich nicht warum [mm] \bruch{1}{2}e\pi [/mm] h [mm] (R^{4}-(R-dr)^{4}) \approx 2\pi R^{3}drhe
[/mm]
Is das eine Näherung, die ich nachvollziehen können müsste?
Sieht das gut aus?
Die Drehung um die Kontaklinie verstehe ich nicht.... Soll ich mit dem Steinerschen Satz eine Drehung um die um R entfernte Achse vom Schwerpunkt berechnen?
Vielen dank schon für die Hilfe...
Eddy
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 So 23.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.was ein "Dichtequotient" sein soll versteh ich nicht.
[mm] dI_s [/mm] kann man direkt ausrechnen: nimmt man einen Hohlzylinder Radius r, Dicke dr der Dichte [mm] \rho(r) [/mm] und Höhe H so ist sein Trägheitsmoment [mm] dI_s=dm*r^2
[/mm]
mit [mm] dm=\rho*dV [/mm] und [mm] dV=2\pi*r*dr*H
[/mm]
also [mm] dI_s=2\pi*H*r^2\rho(r)*r=2*\pi*\rho_0*H/R*r^3dr
[/mm]
das von 0 bis R integriert.
Dein M für die Gesamtmasse versteh ich auch nicht.
Und [mm] dI_S [/mm] ist doch für r und nicht für R, das wäre ja nur die äusserste Schicht.
Falls du [mm] dI_s [/mm] aus der allgemeinen formel ausrechnest: rechne [mm] (r-dr)^4 [/mm] aus, und vernachlässsige glieder mit [mm] dr^2 [/mm] und höheren Potenzen von dr.
dabei sollte dasselbe rauskommen wie bei der direkten Berechnung des Hohlzylinders
Um die Drehung um die Berührlinie zu berechnen, brauchst du natürlich auch das Trägheitsmoment um die Linie, also Steiner.
Gruss leduart
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