Zylinder im Kegel < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 Sa 03.05.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Einem Kegel (Radius R=4cm, Höhe H=16cm) wir ein Zylinder einbeschrieben,der au der Grundfläche des Kegels steht.Welche Zylindermaße r und h sind zu wählen,damit das Volumen des Zylinders ein Maximum annimmt? |
Hallo^^
Kann jemand nachschaun ob ich die Aufgabe richtig gerechnet hab??
(Habs mit Strahlensatz gemacht)
[mm] V_{zyl.}=\pir^{2}h
[/mm]
[mm] \bruch{H}{R}=\bruch{h}{R-r}
[/mm]
h=H-Hr
einsetzen in V
[mm] V=\pir^{2}*(H-Hr)
[/mm]
[mm] V=H\pir^{2}-H\pir^{3}
[/mm]
[mm] V=16\pir^{2}-16\pir^{3}
[/mm]
[mm] V'(r)=32\pir-48\pir^{2}=0
[/mm]
[mm] r\approx0.6666...
[/mm]
Einsetzen in H-Hr=h
h=13.34
lg
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Hallo Mandy_90,
> Einem Kegel (Radius R=4cm, Höhe H=16cm) wir ein Zylinder
> einbeschrieben,der au der Grundfläche des Kegels
> steht.Welche Zylindermaße r und h sind zu wählen,damit das
> Volumen des Zylinders ein Maximum annimmt?
> Hallo^^
> Kann jemand nachschaun ob ich die Aufgabe richtig
> gerechnet hab??
> (Habs mit Strahlensatz gemacht)
> [mm]V_{zyl.}=\pir^{2}h[/mm]
>
> [mm]\bruch{H}{R}=\bruch{h}{R-r}[/mm]
>
> h=H-Hr
Aus vorherigen ergibt sich [mm]h=\bruch{H}{R}*\left(R-r\right)[/mm]
Das mußt mit dieser Formel nochmal nachrechnen.
>
> einsetzen in V
>
> [mm]V=\pir^{2}*(H-Hr)[/mm]
> [mm]V=H\pir^{2}-H\pir^{3}[/mm]
> [mm]V=16\pir^{2}-16\pir^{3}[/mm]
> [mm]V'(r)=32\pir-48\pir^{2}=0[/mm]
> [mm]r\approx0.6666...[/mm]
>
> Einsetzen in H-Hr=h
>
> h=13.34
>
> lg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 So 04.05.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok,ich hab jetz mit der Formel nochmal nachgerechnet.
[mm] V=\pi*r^{2}*h [/mm] R=4 H=16
[mm] \bruch{H}{R}=\bruch{H}{R-r}
[/mm]
h=16-r
Einsetzen in V:
[mm] V=\pi*r^{2}*(16-r)
[/mm]
[mm] V=16\pi*r^{2}-\pi*r^{3}
[/mm]
[mm] V'(r)=32\pi*r-3\pi*r^{2}=0
[/mm]
[mm] =32\pi*r=3\pi*r^{2}
[/mm]
[mm] =32\pi=3\pi*r
[/mm]
[mm] =\bruch{32\pi}{3\pi}=r
[/mm]
[mm] 10,67\approxr
[/mm]
Das r kann aber nicht stimmen,weil der radius des Kegels 4cm ist ,dann kann nicht der Radius des Zylinders 10,67 sein.Was hab ich denn hier falsch gerechnet?
Für h kommt dann 5,3 raus.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 So 04.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Du wendest den Strahlensatz hier falsch an. Ich erhalte:
[mm] $$\bruch{H}{R} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\red{h}}{R-r}$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow [/mm] \ \ h \ = \ [mm] \bruch{H}{R}*(R-r) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{16}{4}*(4-r) [/mm] \ = \ 4*(4-r)$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 So 04.05.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Ist dann h=16-16r?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 So 04.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Wenn ich $4*(4-r)_$ ausmultipliziere, erhalte ich aber $h \ = \ [mm] 16-\red{4}*r$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 So 04.05.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Das war wohl wieder ein blöder Flüchtigkeitsfehler von mir...
Ich hab dann für r=2,67 raus und ür h=5,333....
Ich hab jetzt noch ausgerechnet wie r und h zu wählen sind,wenn die Oberfläche maximal sein soll.Da kommen bei mir die selben Werte ,also r=2,67 raus und h=5,333... raus.
Kann das so stimmen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 So 04.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Das kann aber nicht stimmen. Ohne den Faktor for die Materialkosten erhalte ich [mm] $r_E [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[3]{\bruch{500}{\pi}} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 5.42 \ [mm] \text{cm}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 So 04.05.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Was für Materialkosten denn??
Da stand doch nix von Materialkosten ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
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Hallo Mandy_90,
> Was für Materialkosten denn??
> Da stand doch nix von Materialkosten
Ja, das frage ich mich auch.
Da hat Loddar bestimmt an eine andere Aufgabe gedacht.
Trotzdem stimmen Deine Ergebnisse für r und h. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm]r=\bruch{2}{3}R=\bruch{2}{3}*4 = 2.\overline{6} \approx 2.67[/mm]
[mm]h=\bruch{H}{R}*\left(R-r\right)=4*\left(4-r\right) =4*\left(4-\bruch{2}{3}*4\right)=\bruch{1}{3}*16= 5.\overline{3} \approx 5.33[/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 So 04.05.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Ich glaub Loddar hat an die andere Aufgabe mit den minimalen Materialkosten gedacht,aber die war doch schon gelöst ^^
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