Zylinder in einer Kugel < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:56 So 18.05.2008 | | Autor: | RudiBe |
| Aufgabe | | Einer Kugel mit dem Radius r ist zuerst ein Zylinder mit grösstmöglichem Volumen und dann ein Zylinder mit grösstmöglichen Mantel einzuschreiben. |
Zur Info ... R ist der Radius der Kugel, r der Radius des Zylinders und h/2 die halbe Höhe des Zylinders.
[mm] V=r²\pi*h
[/mm]
[mm] R²=r²+(\bruch{h}{2})²
[/mm]
[mm] r²=R²-(\bruch{h}{2})²
[/mm]
[mm] V=(R²-(\bruch{h}{2})²)*\pi*h
[/mm]
[mm] V=\pi*(hR²-\bruch{h³}{4})
[/mm]
[mm] V'=R²-\bruch{3h²}{4}
[/mm]
[mm] Vmax=f(x)=R²-\bruch{3h²}{4}=0
[/mm]
[mm] R²=\bruch{3h²}{4}
[/mm]
4R²=3h²
[mm] \bruch{3}{4}R²=h²
[/mm]
[mm] \wurzel{\bruch{3}{4}}*R=h
[/mm]
[mm] V''=-\bruch{3h}{2} \Rightarrow [/mm] <0 = Maximum
[mm] Vmax=\pi*(\wurzel{\bruch{3}{4}}*R*R²-\bruch{(\wurzel{\bruch{3}{4}}*R)³}{4})
[/mm]
[mm] Vmax=\pi*(\wurzel{\bruch{3}{4}}*R³-\bruch{1}{4}*(\wurzel{\bruch{3}{4}})³*R³)
[/mm]
[mm] Vmax=\pi*\wurzel{\bruch{3}{4}}*R³*(1-\bruch{1}{4}*(\wurzel{\bruch{3}{4}})²)
[/mm]
[mm] Vmax=\pi*\wurzel{\bruch{3}{4}}*R³*(\bruch{13}{16})
[/mm]
Erstmal bis hier hin. Mir schein das Ergebnis etwas seltsam. Wer kann mir sagen ob das so stimmt oder wo etwas falsch ist.
Würde mich freuen, wenn mir da jemand was dazu sagen kann.
PS: diese Frage gibts nur hier im Forum
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:01 So 18.05.2008 | | Autor: | Fulla |
Hallo RudiBe,
> Einer Kugel mit dem Radius r ist zuerst ein Zylinder mit
> grösstmöglichem Volumen und dann ein Zylinder mit
> grösstmöglichen Mantel einzuschreiben.
> Zur Info ... R ist der Radius der Kugel, r der Radius des
> Zylinders und h/2 die halbe Höhe des Zylinders.
>
> [mm]V=r²\pi*h[/mm]
> [mm]R²=r²+(\bruch{h}{2})²[/mm]
>
> [mm]r²=R²-(\bruch{h}{2})²[/mm]
> [mm]V=(R²-(\bruch{h}{2})²)*\pi*h[/mm]
> [mm]V=\pi*(hR²-\bruch{h³}{4})[/mm]
> [mm]V'=R²-\bruch{3h²}{4}[/mm]
> [mm]Vmax=f(x)=R²-\bruch{3h²}{4}=0[/mm]
> [mm]R²=\bruch{3h²}{4}[/mm]
> 4R²=3h²
> [mm]\bruch{3}{4}R²=h²[/mm]
Hier ist ein (kleiner) Fehler: es muss [mm] $\frac{4}{3}$ [/mm] heißen.
> [mm]\wurzel{\bruch{3}{4}}*R=h[/mm]
> [mm]V''=-\bruch{3h}{2} \Rightarrow[/mm] <0 = Maximum
>
> [mm]Vmax=\pi*(\wurzel{\bruch{3}{4}}*R*R²-\bruch{(\wurzel{\bruch{3}{4}}*R)³}{4})[/mm]
>
> [mm]Vmax=\pi*(\wurzel{\bruch{3}{4}}*R³-\bruch{1}{4}*(\wurzel{\bruch{3}{4}})³*R³)[/mm]
>
> [mm]Vmax=\pi*\wurzel{\bruch{3}{4}}*R³*(1-\bruch{1}{4}*(\wurzel{\bruch{3}{4}})²)[/mm]
>
> [mm]Vmax=\pi*\wurzel{\bruch{3}{4}}*R³*(\bruch{13}{16})[/mm]
Mit dem richtigen Ergebnis für $h$ komme ich auf [mm] $V_{\text{max}}=\frac{4}{3\sqrt{3}}\pi R^3$
[/mm]
> Erstmal bis hier hin. Mir schein das Ergebnis etwas
> seltsam. Wer kann mir sagen ob das so stimmt oder wo etwas
> falsch ist.
> Würde mich freuen, wenn mir da jemand was dazu sagen
> kann.
>
>
>
> PS: diese Frage gibts nur hier im Forum
Zur Kontrolle für den zweiten Teil: ich komme auf [mm] $M_{\text{max}}=\sqrt3\pi R^2$ [/mm] für die maximale Mantelfläche.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:31 So 18.05.2008 | | Autor: | RudiBe |
der (kleine) Fehler ist mir nur im Formeleditor unterlaufen.
Ich hab mir lediglich die kompliziertere Formel von V geschnappt und mich dann irgendwo verhaspelt. Mit der vorhergehenden Formel von V ging es und ich komme auf's gleiche Ergebnis.
Jetzt schau ich mal ob ich beim Mantel das gleiche rausbekomme wie du.
Danke nochmal ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 So 18.05.2008 | | Autor: | RudiBe |
ich hänge da bei Umformen :(
Die Formel für den Mantel ist ja [mm] M=2r*\pi*h
[/mm]
und für r hab ich ja schon [mm] r²=R²-(\bruch{h}{2})² [/mm] also [mm] r=\wurzel{R²-(\bruch{h}{2})²}
[/mm]
das ergibt
[mm] M=2\pi*\wurzel{R²-(\bruch{h}{2})²}*h
[/mm]
und jetzt fällt mir nicht ein wie ich das so vereinfachen soll, dass ich sinnvoll ableiten kann.
Bitte einen Tip.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 So 18.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> ich hänge da bei Umformen :(
>
> Die Formel für den Mantel ist ja [mm]M=2r*\pi*h[/mm]
> und für r hab ich ja schon [mm]r²=R²-(\bruch{h}{2})²[/mm] also
> [mm]r=\wurzel{R²-(\bruch{h}{2})²}[/mm]
> das ergibt
>
> [mm]M=2\pi*\wurzel{R²-(\bruch{h}{2})²}*h[/mm]
>
> und jetzt fällt mir nicht ein wie ich das so vereinfachen
> soll, dass ich sinnvoll ableiten kann.
Zwei Möglichkeiten:
M1:
[mm] 2\pi*\wurzel{R²-(\bruch{h}{2})²}*h
[/mm]
[mm] =2\pi*\wurzel{h²(R²-\bruch{h²}{4})}
[/mm]
[mm] =2\pi*\wurzel{R²h²-\bruch{h^{4}}{4}}
[/mm]
Und jetzt mit der Kettenregel ableiten
M2:
[mm] \underbrace{2\pi*h}_{u}*\underbrace{\wurzel{R²-(\bruch{h}{2})²}}_{v}
[/mm]
Und jetzt per Produktregel ableiten.
>
> Bitte einen Tip.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:51 So 18.05.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo
>
> > ich hänge da bei Umformen :(
> >
> > Die Formel für den Mantel ist ja [mm]M=2r*\pi*h[/mm]
> > und für r hab ich ja schon [mm]r²=R²-(\bruch{h}{2})²[/mm] also
> > [mm]r=\wurzel{R²-(\bruch{h}{2})²}[/mm]
> > das ergibt
> >
> > [mm]M=2\pi*\wurzel{R²-(\bruch{h}{2})²}*h[/mm]
> >
> > und jetzt fällt mir nicht ein wie ich das so vereinfachen
> > soll, dass ich sinnvoll ableiten kann.
>
Hallo, es gibt da einen kleinen Trick:
Wenn M maximal ist, ist auch [mm] M^2 [/mm] maximal. Und
[mm] M^2=4\pi^2(R²-(\bruch{h}{2})²)*h^2 [/mm] enthält keine Wurzel mehr und kann viel leichter abgeleitet werden.
Viele Grüße
Abakus
> Zwei Möglichkeiten:
>
> M1:
> [mm]2\pi*\wurzel{R²-(\bruch{h}{2})²}*h[/mm]
> [mm]=2\pi*\wurzel{h²(R²-\bruch{h²}{4})}[/mm]
> [mm]=2\pi*\wurzel{R²h²-\bruch{h^{4}}{4}}[/mm]
> Und jetzt mit der Kettenregel ableiten
>
> M2:
>
> [mm]\underbrace{2\pi*h}_{u}*\underbrace{\wurzel{R²-(\bruch{h}{2})²}}_{v}[/mm]
>
> Und jetzt per Produktregel ableiten.
>
> >
> > Bitte einen Tip.
>
>
> Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 So 18.05.2008 | | Autor: | RudiBe |
Danke für die Infos ich habs jetzt mal auf dem "Tipp"-Weg probiert aber es kommt nicht ganz das raus, was soll.
[mm] M²=4\pi²h²*(R²-\bruch{h²}{4})
[/mm]
[mm] M²=4\pi²h²R²-\pi²h^4
[/mm]
wenn ich das jetzt ableite brauch ich meines Wissens [mm] \pi [/mm] nicht berücksichtigen
[mm] f(h)=8hR²-4h^3
[/mm]
[mm] Mmax=8hR²-4h^3=0
[/mm]
[mm] 4h^3=8hR²
[/mm]
[mm] \bruch{4h^3}{8h}=R²
[/mm]
[mm] \bruch{h²}{2}=R²
[/mm]
h²=2R²
[mm] h=\wurzel{2}R
[/mm]
wenn ich das jetzt in meine Zielformel einsetze
[mm] Mmax=2\pi*\wurzel{R²-\bruch{(\wurzel{2}*R)²}{4}}*\wurzel{2}R
[/mm]
[mm] Mmax=2\pi*\wurzel{R²-\bruch{2*R²}{4}}*\wurzel{2}R
[/mm]
[mm] Mmax=2\pi*\wurzel{R²-\bruch{1}{2}R²}*\wurzel{2}R
[/mm]
[mm] Mmax=2\pi*\wurzel{\bruch{1}{2}R²}*\wurzel{2}R
[/mm]
[mm] Mmax=2\pi*R²*\wurzel{\bruch{1}{2}}*\wurzel{2}
[/mm]
[mm] Mmax=2\pi*R²*\wurzel{1}
[/mm]
und [mm] Mmax=\pi*R²*\wurzel{3} [/mm] soll rauskommen :(
Wo liegt der Fehler?
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Hallo
[mm] 4\pi R^{2}h^{2}-\pi^{2}h^{4}
[/mm]
[mm] \pi [/mm] ist ebenso eine Konstante wie 4, somit lautet die Ableitung
[mm] 8\pi R^{2}h-4\pi^{2}h^{3}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 So 18.05.2008 | | Autor: | RudiBe |
Danke für den Tip
leider kürzt sich das [mm] \pi [/mm] beim Vereinfachen weg und übrig bleibt mein Ergebnis von vorher.
Für mich hat sich nichts geändert. Was nun?
PS: die Formel war übrigens 4 [mm] \pi² [/mm] R² ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 So 18.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Ergebnis ist einfach richtig.
Es sei denn es geht um die Oberfläche und nicht nur den Mantel.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:01 So 18.05.2008 | | Autor: | RudiBe |
ich hatte zwar nicht aufgepasst wegen Mantel und Oberfläche, aber da Mantel in der Aufgabe stand und die Formel auch zum Mantel gehörte, sollte das passen.
Danke
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