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Zylinderkoordinaten: nächstes problem
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:43 Mi 09.07.2008
Autor: crashby

Aufgabe
Berechnen Sie [mm] $\int\int\int x^2\cdot [/mm] y dxdydz $

mit $ [mm] G:=\{(x,y,z)\in \IR^3: x\ge 0, y\ge 0, x^2+y^2\le 1,0\le z\le 1\}\subset\IR^3 [/mm] $

Verwenden Sie hierbei zylinderkoordinaten:

[mm] $x=r\cdot cos(\phi) [/mm] $
$ [mm] y=r\cdot sin(\phi) [/mm] $
$ [mm] z=\xi [/mm] $ mit [mm] $r>0,0\le \phi [/mm] < [mm] 2\pi [/mm] $, [mm] $\xi\in \IR [/mm] $


moin Leute,

hier mein nächstes Problem :)

mein Integral soll diese form hier haben:

[mm] $\int_{z}\int_{r}\int_{\phi}f(r,\phi,z) [/mm] r d [mm] \phi [/mm] dr dz $

z geht von 0...1 [mm] ;$\phi$ [/mm] von [mm] 0...2$\pi$ [/mm]

Was ist mit dem r und wie schreibe ich das ganze auf?

lg


        
Bezug
Zylinderkoordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:49 Mi 09.07.2008
Autor: max3000

Hi.

Wie du sicherlich weißt ist

[mm] r^2=x^2+y^2 [/mm]

Da [mm] x^2+y^2 [/mm] von 0 bis 1 geht, geht auch r von 0 bis 1.

Und deine Beschränkung von [mm] \Phi [/mm] ist auch nicht richtig.

Denk daran, dass [mm] x,y\ge0 [/mm] ist, und desswegen

[mm] 0\le\Phi\le\pi/2 [/mm]

Das siehst du eigentlich sofort, wenn du mal eine Skizze malst, kannst es aber auch aus der bedingung herleiten

[mm] x=r*cos(\Phi)\ge0 \Rightarrow \Phi\in[-\pi/2,\pi/2] [/mm]

Für den Sinus gilt [mm] \Phi\in[0,\pi] [/mm]

Und daraus dann das Intervall, was beides Erfüllt.

Dann weißt du ja jetzt alles. Dann berechnest du noch Funktionaldeterminante, setzt alles ein und kannst integrieren.


Schönen Gruß

Max

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Bezug
Zylinderkoordinaten: so richtig ?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:31 Do 10.07.2008
Autor: crashby

Hey max3000,

Bei der Determinante kommt dann $r$ raus oder ?

Dennoch weiß ich nicht so wirklich wie ich das jetzt aufschreiben soll aber ich probier es mal:

gegeben war ja: $ [mm] \int\int\int_{G}x^2\cdot y\; dx\; dy\; [/mm] dz $

mit der Polarkoordinatenschreibweise würde ich das so schreiben:

$ [mm] \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} r^2\cdot cos(\phi)^2\cdot r\cdot sin(\phi)\cdot r\cdot d\phi\;dr\; [/mm] dz $

[mm] $=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} r^2\cdot cos(\phi)^2\cdot r^2\cdot sin(\phi)\cdot d\phi\;dr\; [/mm] dz  $

und das jetzt integrieren ?

lg

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Bezug
Zylinderkoordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:40 Do 10.07.2008
Autor: fred97

ja

FRED

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Zylinderkoordinaten: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:54 Do 10.07.2008
Autor: crashby

hey supi,

ich mussl eider erstmal arbeiten werde später dann rechnen und es hier reinstellen.

Danke für eure Hilfe

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Bezug
Zylinderkoordinaten: Rechnung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:55 Fr 11.07.2008
Autor: crashby

Okay dann wollen wir mal:

$ [mm] =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} r^2\cdot cos(\phi)^2\cdot r^2\cdot sin(\phi)\cdot d\phi\;dr\; [/mm] dz $

[mm] $=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} r^4\cdot cos(\phi)^2\cdot sin(\phi)\cdot d\phi\;dr\; [/mm] dz $

[mm] r^4 [/mm] vors integral schieben:

[mm] $=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}r^4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos(\phi)^2\cdot sin(\phi)\cdot d\phi\;dr\; [/mm] dz $

Eine Stammfunktion von [mm] $os(\phi)^2\cdot sin(\phi)$ [/mm] ist
[mm] $-\frac{1}{3}cos(\phi)^3+C [/mm] $

dann erhalte ich für das erste Integegral nach [mm] $\phi [/mm] $:

[mm] $\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1}r^4\cdot(-\frac{1}{3}\cdot cos(\pi/2)^3-0)\; dr\right)dz [/mm] $

nun ist aber $ [mm] cos(\pi/2) [/mm] =0 $

wo ist der Fehler ?

lg George

Bezug
                                                
Bezug
Zylinderkoordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:11 Fr 11.07.2008
Autor: Kroni


> Okay dann wollen wir mal:

Hi,


>  
> [mm]=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} r^2\cdot cos(\phi)^2\cdot r^2\cdot sin(\phi)\cdot d\phi\;dr\; dz[/mm]
>  
> [mm]=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} r^4\cdot cos(\phi)^2\cdot sin(\phi)\cdot d\phi\;dr\; dz[/mm]
>  
> [mm]r^4[/mm] vors integral schieben:
>  
> [mm]=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}r^4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos(\phi)^2\cdot sin(\phi)\cdot d\phi\;dr\; dz[/mm]
>  
> Eine Stammfunktion von [mm]os(\phi)^2\cdot sin(\phi)[/mm] ist
>  [mm]-\frac{1}{3}cos(\phi)^3+C[/mm]
>  
> dann erhalte ich für das erste Integegral nach [mm]\phi [/mm]:
>  
> [mm]\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1}r^4\cdot(-\frac{1}{3}\cdot cos(\pi/2)^3-0)\; dr\right)dz[/mm]
>  
> nun ist aber [mm]cos(\pi/2) =0[/mm]

Ja. [mm] $\cos\pi/2=0$, [/mm] aber was ist denn [mm] $\cos(0)$?. [/mm]

LG

Kroni

>  
> wo ist der Fehler ?
>  
> lg George


Bezug
                                                        
Bezug
Zylinderkoordinaten: hmm
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:22 Fr 11.07.2008
Autor: crashby

Hey Kroni,

ja ich hab einfach aufgehört nachdem ich gesehen habe das es null wird. Da aber cos(0) =1 ist kann ich ja weiter rechnen :)

okay als Ergebnis habe ich dann:

$ [mm] =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} r^4\cdot cos(\phi)^2\cdot sin(\phi)\cdot d\phi\;dr\; dz=\red{\frac{1}{15}} [/mm] $

ist das richtig ?



Bezug
                                                                
Bezug
Zylinderkoordinaten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:35 Fr 11.07.2008
Autor: Kroni

Hi,

darauf komme ich auch, da das Integral von [mm] $r^4$ [/mm] dir eine 1/5 gibt und das INtegral über z eine 1. Der Cosinus-Sinus-Ausdruck gibt dir 1/3, ergo 1/15,

LG

Kroni

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Zylinderkoordinaten: Komplettlösung und Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:46 Fr 11.07.2008
Autor: crashby

Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hey,

Danke.

Hier mal die vollständige Lösung:

$ \int\int\int_{G}x^2\cdot y\; dx\; dy\; dz $

mit Polarkoordinaten dann:

$ \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} r^2\cdot cos(\phi)^2\cdot r\cdot sin(\phi)\cdot r\cdot d\phi\;dr\; dz $

weiter veinfachen:

$ =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} r^4\cdot cos(\phi)^2\cdot sin(\phi)\cdot d\phi\;dr\; dz $

r^4 vor das Integral schieben:


$ =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}r^4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos(\phi)^2\cdot sin(\phi)\cdot d\phi\;dr\; dz $

$=\int_{0}^{1}\left(r^4\cdot \left[-\frac{1}{3} cos(\phi)^3\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\;dr\right)\;dz=\int_{0}^{1}\left(r^4\cdot \left(0-\left(-\frac{1}{3}\right)\;dr\right)\;dz=\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1}\left( \frac{r^4}{3}\right)\;dr\right)\;dz $

$=\int_{0}^{1}\left[\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5}r^4\right]_{0}^{1}\;dz =\int_{0}^{1}\frac{1}{15}\;dz=\red{\frac{1}{15}}$

Vielen Dank

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