Zylindervolumen < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Sa 17.11.2007 | | Autor: | ron |
| Aufgabe | | Bestimme die Höhe h und den Radius r des Zylinders, welcher bei gleichem Materialbedarf A das größte Volumen besitzt? |
Hallo,
ist auf den ersten Blick die Standardformulierung für eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung wie z.B. unter
Beispiel Zylindervolumen
als Vergleich hier im Forum bereits mehrmals beantwortet.
Jetzt möchte ich aber eine sinnvolle Erklärung bekommen für die folgenden Überlegungen. (Dabei ist es egal, ob es Lsg-Hinweise oder Fehleranmerkungen sind):
In der Aufgabe wird nur von einem Zylinder gesprochen, d.h. die Oberfläche ermittelt man mittels
A(h,r)= 2 [mm] \pi [/mm] rh
Also ohne Deckel oder Boden
Folglich ergibt sich das Volumen über:
V(h,r)= [mm] \pi hr^2
[/mm]
Setzt man nun die vorgegebene Oberfläche als konstanten Wert A und löst zunächst die Oberflächenformel nach h auf und setzt das in die Volumenformel ein ergibt sich die Zielfunktion:
V(r)= [mm] \pi r^2 (\bruch{A}{2 \pi r})
[/mm]
nach Kürzungsregel egibt sich:
V(r)= [mm] \bruch{Ar}{2}
[/mm]
Für Extremum erste Ableitung bilden und gleich Null setzen:
V'(r)= [mm] \bruch{A}{2} [/mm] =0
Also r [mm] \in [/mm] IR , durch Einschränkung r > 0
Ein Rollentausch durch Auflösen der Mantelfläche nach r schreibe ich nicht extra auf führt aufgrund der linearen Zielfunktion in Abhängigkeit von h auf ein ähnliches Problem, nur mit negativen Expomenten.
Nun endlich meine Kernfrage:
Wie kann man sinnvoll erklären, dass diese Aufgabe keinen konkreten Wert für r oder h liefern kann.
Eine anschauliche Erklärung wäre mir am liebsten, aber auch eine rein mathematische nehme ich gerne.
Meine Idee ist simpel: Bei fester Oberfläche aber freier Form des Zylinders bleibt letztlich das Volumen immer gleich, es gibt kein "maximales Volumen"!
Danke für jeden Beitrag
Ron
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi, ron!
Der Unterschied zwischen Extremwertaufgabe, in denen man konkrete Zahlen rauskriegt und dieser hier ist, dass man sonst noch eine konkrete Zahl für den Oberflächenihalt hätte.
[mm] A(r,h)=2*\pi*r*(r+h)
[/mm]
[mm] V(r,h)=\pi*r²*h
[/mm]
Wenn man A nun gegeben hätte, könnte man das Problem natürlich auf eine Variable zurückfrühren (r oder h), aber hier behält man 2 Variablen ind er Rechnung (r und A oder h und A). Daher kann man am Ende höchstens eine Gleichung angeben, die h und r für ein maximales Volumen bei gleichem Oberflächeninhalt erfüllen müssen.
Aber deine Rechnungen stimmen eben nicht ganz, weil du von einer falschen Oberflächeninhaltsformel ausgegangen bist!
Rechne das nochmal und du erhälst z.B. [mm] r=\bruch{\wurzel{6a}}{3*\wurzel{\pi}}
[/mm]
und h kannst du ja dann damit auch berechnen. Du stellst dan fest, dass
h das doppelte von r ist.
Damit kann man anschaulich sagen, dass jede von vorne quadratisch aussehende Dose das größte Volumen bei dem gegebenen Oberflächeninhalt hat.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Sa 17.11.2007 | | Autor: | ron |
Hallo Teufel,
danke für die schnelle Antwort.
Bitte lese meine Oberflächenformel nochmals und vergleiche diese mit deiner, wenn die beiden Deckel in deiner Formel wegfallen (die sind dort bei dir noch enthalten, fallen aber bei meiner Betrachtung weg!)
Deine Anmerkung zur Vorgabe von der Oberfläche ist richtig. Das von mir verwendete Symbole A bezeichnet eine konstante Zahl, die nach belieben vorgegeben werden kann. Falls es leichter ist einfach für A eine Zahl einsetzen z.B. 100 [mm] cm^2
[/mm]
In der Rechnung sind einzige Variablen r und h!!!!!
Es geht um die Erklärung der Unlösbarkeit dieser Aufgabenstellung. Denn ein maximales Volumen gibt es bei einem offenen Zylinder (Röhre) mit fester Oberfläche, aber freien Radius und Höhe, meiner Meinung nach nicht! Es ist bei dieser einzigen Vorgabe immer gleich!?
Hoffe ich konnte mich verständlicher ausdrücken, sonst bitte erneut fragen.
Gruß
Ron
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Na, wenn das so ist, reicht es dann nicht aus zu zeigen, dass die Zielfunktion linear is und deshalb keine Extrempunkte besetzt?
[mm] V(r)=\bruch{a}{2}*r
[/mm]
Offenbar eine streng monoton steigende, lineare Funktion, da a>0.
Damit würde eine Maximum des Flächeninhalts für [mm] r->\infty [/mm] erfolgen.
h geht für [mm] r->\infty [/mm] zwar gegen 0, jedoch hat r einen größeren Einfluss auf das Volumen, da es in der Volumenformel ja quadriert wird.
Wenn du dir einen Zylinder vorstellst und du vergrößerst dein r um eine gewisse Zahl, wird er schneller breiter als höher und das auch noch zu beiden Seiten!
Zumindest wäre das meine Erklärung.
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