a^2 + b^2 = 4c + 3 < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass es keine ganzen Zahlen a, b, c [mm] \in \IZ [/mm] mit [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = 4c + 3 gibt. |
Hallo.
Prinzipiell ist die Antwort auf diese Frage logisch, aber beweistechnisch scheitere ich mal wieder.
Seien [mm] a,b,c\in\IZ [/mm] mit [mm] a^2+b^2=4c+3. [/mm] Dann gilt
[mm] a^2 [/mm] - 4c = 3 - [mm] b^2.
[/mm]
Nun gilt weiter [mm] a^2 [/mm] - 4c = 0 und somit [mm] a^2 [/mm] = 4c und somit a = 2 * [mm] \sqrt{c} [/mm] und a = -2 * [mm] \sqrt{c}. [/mm] Ebenso gilt 3 - [mm] b^2 [/mm] = 0 und somit [mm] b^2 [/mm] = 3 und somit b = [mm] \sqrt{3} [/mm] und b = [mm] -\sqrt{3}. [/mm] Da b dann abe nicht in b ist, gilt die Behauptung.
Der Beweis ist doch so ein bisschen zu einfach, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:51 So 18.11.2007 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Zeigen Sie, dass es keine ganzen Zahlen a, b, c [mm]\in \IZ[/mm] mit
> [mm]a^2[/mm] + [mm]b^2[/mm] = 4c + 3 gibt.
> Hallo.
>
> Prinzipiell ist die Antwort auf diese Frage logisch, aber
> beweistechnisch scheitere ich mal wieder.
>
> Seien [mm]a,b,c\in\IZ[/mm] mit [mm]a^2+b^2=4c+3.[/mm] Dann gilt
> [mm]a^2[/mm] - 4c = 3 - [mm]b^2.[/mm]
>
Woher kommen denn die folgenden Gleichungen?
> Nun gilt weiter [mm]a^2[/mm] - 4c = 0 und somit [mm]a^2[/mm] = 4c und somit a
> = 2 * [mm]\sqrt{c}[/mm] und a = -2 * [mm]\sqrt{c}.[/mm] Ebenso gilt 3 - [mm]b^2[/mm] =
> 0 und somit [mm]b^2[/mm] = 3 und somit b = [mm]\sqrt{3}[/mm] und b =
> [mm]-\sqrt{3}.[/mm] Da b dann abe nicht in b ist, gilt die
> Behauptung.
Das muß alles nicht so sein! Betrachte stattdessen doch mal deine Gleichung modulo 4 und prüfe, ob sie als Kongruenz lösbar ist.
> Der Beweis ist doch so ein bisschen zu einfach, oder?
Er ist nicht zu einfach, sondern falsch.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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War ja klar, dass das so nicht klappen kann.
Also soll ich [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] - 3 mod 4 betrachten? Aber was soll ich daraus schließen können...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 So 18.11.2007 | | Autor: | statler |
Sortier mal a und b nach gerade und ungerade ...
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Hallo.
Ich habe dann ja drei Fälle zu betrachten.
1. Fall - a gerade und b gerade
2. Fall - a ungerade und b ungerade
3. Fall - a gerade und b ungerade / a ungerade und b gerade
1. Fall. Seien a und b gerade. Dann sind auch [mm] a^2 [/mm] und [mm] b^2 [/mm] gerade. Somit ist auch die Summe gerade. Wenn man davon nun 3 subtrahiert, erhält man eine ungerade Zahl, welche nach der Division mit 4 keine ganze Zahl ergibt.
2. Fall. Seien a und b ungerade. Dann sind auch [mm] a^2 [/mm] und [mm] b^2 [/mm] ungerade. Jedoch ist die Summe gerade. Wenn man davon nun 3 subtrahiert, erhält man eine ungerade Zahl, welche nach der Division mit 4 keine ganze Zahl ergibt.
3. Fall. Seien a gerade und b ungerade. Dann ist [mm] a^2 [/mm] gerade und [mm] b^2 [/mm] ungerade. Damit ist die Summe jedoch ungerade...
Im dritten Fall hackt es nun leider ein bisschen. Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen? Der 1. und der 2. Fall sind doch so richtig, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 So 18.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
überlege dir, welche reste quadrate bei teilbearkeit durch $4$ lassen können - diese sind nicht beliebige. damit solltest du den letzten fall auch ausschließen können. die ersten beiden fälle stimmen so.
grüße
andreas
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Hallo.
Also ich habe einfach mal die ersten Elemente untersucht:
[mm] 0^2 [/mm] mod 4 = 0
[mm] 1^2 [/mm] mod 4 = 1
[mm] 2^2 [/mm] mod 4 = 0
[mm] 3^2 [/mm] mod 4 = 1
[mm] 4^2 [/mm] mod 4 = 0
Es werden also nur die Restklassen 0 und 1 getroffen, aber wie hilft mir das nun bei dieser Aufgabe weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 So 18.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> [mm]0^2[/mm] mod 4 = 0
> [mm]1^2[/mm] mod 4 = 1
> [mm]2^2[/mm] mod 4 = 0
> [mm]3^2[/mm] mod 4 = 1
> [mm]4^2[/mm] mod 4 = 0
>
>
> Es werden also nur die Restklassen 0 und 1 getroffen,
gut. das musst du aber natürlich noch ganz allgemein zeigen.
nun überleg dir mal für deine aufgabe, wie dann [mm] $a^2 [/mm] + [mm] b^2 \equiv [/mm] x [mm] \mod [/mm] 4$ aussieht (das heißt welchen wert nimmt $x$ in dem dritten fall an?)? kann denn dann $x [mm] \equiv [/mm] 4c + 3 [mm] \mod [/mm] 4 $ gelten?
grüße
andreas
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Hallo.
Hast du vielleicht einen kleinen Tipp, wie ich das mit den Restklassen mathematisch beweisen kann?
Also wenn [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 \equiv [/mm] x mod 4 gelten soll, dass ist x = 1. Nun soll ich noch x [mm] \equiv [/mm] 4c - 3 mod 4 betrachten. Hier weiß ich nun nicht so recht weiter. Da ich ja keine Aussage über c gemacht habe und damit eigentlich auf nichts schließen kann, aber ich denke, dass x in dem Fall nicht 1 ist, sonst würde die Aufgabe keinen Sinn machen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 So 18.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Hast du vielleicht einen kleinen Tipp, wie ich das mit den
> Restklassen mathematisch beweisen kann?
zeige am besten, dass [mm] $m^2 \equiv [/mm] 0 [mm] \mod [/mm] 4$, wenn $m$ gerade ist, und [mm] $m^2 \equiv [/mm] 1 [mm] \mod [/mm] 4$, wenn $m$ ungerade ist. formuliere dazu die bedingung gerade und ungerade um, das heißt $m [mm] \in \mathbb{Z}$ [/mm] ist gerade [mm] $\Longleftrightarrow$ $\exists \, [/mm] k [mm] \in \mathbb{Z}: [/mm] ...$. wie sieht dann [mm] $m^2$ [/mm] aus? welchen rest lässt es beim teilen durch $4$?
> Also wenn [mm]a^2[/mm] + [mm]b^2 \equiv[/mm] x mod 4 gelten soll, dass ist x
> = 1. Nun soll ich noch x [mm]\equiv[/mm] 4c - 3 mod 4 betrachten.
heißt das in der orginalaufgabe nun $4c - 3$ oder $4c + 3$? überlege dir mal, ob das $c$ irgendeinen einfluss auf den rest beim teilen durch $4$ haben kann?
grüße
andreas
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Hallo.
Also ich weiß noch nicht wie du die Definition einer ungeraden Zahl umschreiben willst. Ich hätte jetzt gedacht, dass man zu einer ungeraden Zahl eine 1 addiert um bei einer geraden Zahl zu landen.
Das c hat ja eigentlich keine Bedeutung, da ich dieses ja errechnen möchte...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 So 18.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Also ich weiß noch nicht wie du die Definition einer
> ungeraden Zahl umschreiben willst. Ich hätte jetzt gedacht,
> dass man zu einer ungeraden Zahl eine 1 addiert um bei
> einer geraden Zahl zu landen.
das ist ja keine wirklich formale definition. eine zahl ist doch genau dann gerade, wenn sie durhc zwei teilbar ist, dass heißt für $m [mm] \in \mathbb{Z}$ [/mm] gilt:
$m$ geade [mm] $\Longleftrightarrow$ $\exists \, [/mm] k [mm] \in \mathbb{Z}: [/mm] m = 2k$
überlege dir nun, ob du mit dieser definition die aussage zeigen kannst.
> Das c hat ja eigentlich keine Bedeutung, da ich dieses ja
> errechnen möchte...
nicht wirklich. du willst doch zeigen, dass es keine $a, b, c [mm] \in \mathbb{Z}$ [/mm] gibt, die die gleichung erfüllen!
grüße
andreas
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Hi.
Also. Ich habe mir jetzt folgendes überlegt. Der Beweis für die Restklassen 0 und 1 habe ich nun auch alleine geschafft. Jetzt geht es aber weiter:
[mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 \equiv [/mm] 1 mod 4
Dann gilt weiter
1 [mm] \equiv [/mm] 4c + 3 mod 4
<=> -2 [mm] \equiv [/mm] 4c mod 4
<=> -1 [mm] \equiv [/mm] 2c mod 4
<=> [mm] -\bruch{1}{2} \equiv [/mm] c mod 4
Also ist c keine ganze Zahl.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 So 18.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also. Ich habe mir jetzt folgendes überlegt. Der Beweis für
> die Restklassen 0 und 1 habe ich nun auch alleine
> geschafft. Jetzt geht es aber weiter:
>
> [mm]a^2[/mm] + [mm]b^2 \equiv[/mm] 1 mod 4
>
> Dann gilt weiter
>
> 1 [mm]\equiv[/mm] 4c + 3 mod 4
> <=> -2 [mm]\equiv[/mm] 4c mod 4
> <=> -1 [mm]\equiv[/mm] 2c mod 4
> <=> [mm]-\bruch{1}{2} \equiv[/mm] c mod 4
Der letzte Schritt ist ein Problem, du darfst im Restklassenring nicht einfach teilen: 2 ist hier ein Nullteiler.
Aber das brauchst du auch nicht, wenn du das Argument umdrehst und einen Widerspruch konstruierst:
Angenommen, c ist eine ganze Zahl. Was ist dann [mm]4c + 3 \bmod 4[/mm] ? Kann das [mm]\equiv 1 \bmod 4[/mm] sein?
Viele Grüße
Rainer
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Hallo.
Okay. Sei also c eine ganze Zahl. Dann ist 4c mod 4 = 0. Also gilt 4c + 3 [mm] \equiv [/mm] 3 mod 4.
Also ist das ganze ungleich 1 und somit gilt die Behauptung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 So 18.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Okay. Sei also c eine ganze Zahl. Dann ist 4c mod 4 = 0.
> Also gilt 4c + 3 [mm]\equiv[/mm] 3 mod 4.
>
> Also ist das ganze ungleich 1 und somit gilt die
> Behauptung.
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Viele Grüße
Rainer
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