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Forum "Zahlentheorie" - a,b,c Linearkombinationen
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a,b,c Linearkombinationen: Frage Ansatz Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:53 So 16.11.2008
Autor: svcds

Aufgabe
Seien a, b, c natürliche Zahlen. Wir betrachten die Menge [mm] \IL [/mm] aller Linearkombinationen
x*a + y*b + z*c mit ganzzahligen Koeffizienten x, y, z . Zeigen Sie:
i) Ist f = x*a + y*b + z*c eine solche Linearkombination und t ein gemeinsamer Teiler von
a, b und c , so ist t auch ein Teiler von f.
ii) Hat man a mit Rest r durch f geteilt – (also a = q * f + r mit 0 [mm] \le [/mm] r < f )- so ist auch
dieser Rest eine Linearkombination aus L.
iii) Unter allen Linearkombinationen aus L, deren Wert f sogar eine natürliche Zahl ist,
betrachten wir diejenige mit dem kleinsten Wert: d = [mm] x_{0} [/mm] * a + [mm] y_{2} [/mm] * b + [mm] z_{2} [/mm] * c. Zeigen Sie,
dass dieses d ein Teiler von a sein muss. (Hinweis: ii)).

Hi,

ich blick da gar nicht durch.

Irgendeiner ne Idee für mich?

LG KNUT

        
Bezug
a,b,c Linearkombinationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:59 Mo 17.11.2008
Autor: Marc

Hallo Knut,

> Seien a, b, c natürliche Zahlen. Wir betrachten die Menge
> [mm]\IL[/mm] aller Linearkombinationen
>  x*a + y*b + z*c mit ganzzahligen Koeffizienten x, y, z .
> Zeigen Sie:
>  i) Ist f = x*a + y*b + z*c eine solche Linearkombination
> und t ein gemeinsamer Teiler von
>  a, b und c , so ist t auch ein Teiler von f.

Wenn t ein Teiler von a ist, dann gibt es eine Zahl [mm] $k\in\IZ$ [/mm] so, dass $a=k*t$ ist.
Dieselbe Darstellung ist für b und c möglich, dann in f einsetzen, t ausklammern, fertig.

>  ii) Hat man a mit Rest r durch f geteilt – (also a = q * f
> + r mit 0 [mm]\le[/mm] r < f )- so ist auch
>  dieser Rest eine Linearkombination aus L.

Du sollst r als Linearkombination von a,b,c darstellen, also lös' mal die Gleichung nach r auf, setze die Darstellung von f ein, multipliziere aus und sortiere nach a, b, c.

>  iii) Unter allen Linearkombinationen aus L, deren Wert f
> sogar eine natürliche Zahl ist,
>  betrachten wir diejenige mit dem kleinsten Wert: d = [mm]x_{0}[/mm]
> * a + [mm]y_{2}[/mm] * b + [mm]z_{2}[/mm] * c. Zeigen Sie,
>  dass dieses d ein Teiler von a sein muss. (Hinweis: ii)).

Es gilt nach dem satz über die Division mit Rest, dass a=qd+r mit [mm] $0\le [/mm] r<d$.
Nach ii) ist r wieder eine Linearkombination von a,b,c, allerdings ist r kleiner als d... Welchen Wert kann r daher nur besitzen?

> ich blick da gar nicht durch.
>  
> Irgendeiner ne Idee für mich?

Deine Eigenleistung ist hier ziemlich enttäuschend, normalerweise werden solche Anfragen hier gar nicht beantwortet. Wenigstens Versuche oder Definitionen oder konkrete Fragen hättest du präsentieren können/müssen.

Viele Grüße,
Marc

Bezug
                
Bezug
a,b,c Linearkombinationen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:16 Di 18.11.2008
Autor: svcds

ähhm deine Antwort kam ja auch zu spät und ich habs dann auch selbst hinbekommen....

Bezug
                        
Bezug
a,b,c Linearkombinationen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:35 Di 18.11.2008
Autor: Marc


> ähhm deine Antwort kam ja auch zu spät und ich habs dann
> auch selbst hinbekommen....

ähhm, dann stelle deine Fragen in Zukunft nicht sofort bei Erhalt, sondern bitte erst dann, wenn du schon 5 Minuten drüber nachgedacht hast. Wie du gesehen hast, sieht sonst auch kein anderer ein, dir diese Mühe abzunehmen.

Bezug
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