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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Sa 29.04.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | Seien V und W K-Vektorräume, und sei [mm] U\subset [/mm] V ein Unterraum.
Beweisen Sie, dass die Zuordnung [mm] f\mapsto f|_U [/mm] eine lineare Abbildung R :
[mm] Hom(V,W)\mapsto [/mm] Hom(U,W) induziert. Benutzen Sie Aufgabe 2, um einen
Isomorphismus zwischen Kern(R) und Hom(V/U,W) zu konstruieren.Was
ist Bild(R)? |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey Leute, hänge jetzt an der nächsten aufgabe.
Habe die linearität folgendermaßen gezeigt:
1. [mm] R(f+f|_U)=f+g|_U=f|_U+g|_U=R(f)+R(g) [/mm]
[mm] 2.R(\lambda*f)=(\lambda*f)|_U=\lambda*f|_U=\lambda*R(f)
[/mm]
kommt mir ein wenig kurz vor, weiß jemand von euch, ob das so richtig ist?
bei den anderen fragen, weiß ich gar nicht genau, was gefragt ist.
Kern(R) ist doch eigentlich
[mm] f\in [/mm] Hom(V,W) für die f wieder auf die 0 von Hom(V/U,W) abgebildet wird, was ja wieder die 0-abbildung ist oder nicht? und da R(f)=f|U folgt doch, dass f auch die 0-abbildung sein muss damit R(f)=0.
denke mal, dass ich mich vertue, aber so habe ich es verstanden. Mit den gedanken habe ich ka, wie man einen iso konstruieren kann.
ja und Bild(R) ist doch einfach Hom(U,W) oder?
denke mal hier ist ne menge falsches mit bei.. wäre nett, wenn mir eine da weiterhelfen könnte..
Gruß Ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 So 30.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Ari!
> Seien V und W K-Vektorräume, und sei [mm]U\subset[/mm] V ein
> Unterraum.
> Beweisen Sie, dass die Zuordnung [mm]f\mapsto f|_U[/mm] eine
> lineare Abbildung R :
> [mm]Hom(V,W)\mapsto[/mm] Hom(U,W) induziert. Benutzen Sie Aufgabe
> 2, um einen
> Isomorphismus zwischen Kern(R) und Hom(V/U,W) zu
> konstruieren.Was
> ist Bild(R)?
> (frage zuvor nicht gestellt)
>
> Hey Leute, hänge jetzt an der nächsten aufgabe.
>
> Habe die linearität folgendermaßen gezeigt:
>
> 1. [mm]R(f+f|_U)=f+g|_U=f|_U+g|_U=R(f)+R(g)[/mm]
Du meinst [mm]R(f+g)=(f+g)|_U=f|_U+g|_U=R(f)+R(g)[/mm], oder?
> [mm]2.R(\lambda*f)=(\lambda*f)|_U=\lambda*f|_U=\lambda*R(f)[/mm]
>
> kommt mir ein wenig kurz vor, weiß jemand von euch, ob das
> so richtig ist?
Ja, es ist richtig.
> bei den anderen fragen, weiß ich gar nicht genau, was
> gefragt ist.
>
> Kern(R) ist doch eigentlich
> [mm]f\in[/mm] Hom(V,W) für die f wieder auf die 0 von Hom(V/U,W)
> abgebildet wird, was ja wieder die 0-abbildung ist oder
> nicht? und da R(f)=f|U folgt doch, dass f auch die
> 0-abbildung sein muss damit R(f)=0.
$f$ muss die Nullabbildung auf $U$ sein! Also $f [mm] \in \ker [/mm] R [mm] \Leftrightarrow f|_U [/mm] = 0$. Das heisst aber noch lange nicht, dass $f$ ausserhalb von $U$ gleich $0$ sein muss!
> ja und Bild(R) ist doch einfach Hom(U,W) oder?
Ja, aber das musst du eigentlich erst noch zeigen  Bei endlichdimensionalen Raeumen ist es einfach, und bei unendlichdimensionalen Raeumen brauchst du entweder die Existenz einer Basis von $V$, die eine Basis von $U$ erweitert, oder das Zornsche Lemma.
Zum Isomorphismus [mm] $\ker [/mm] R [mm] \cong [/mm] Hom(V/U, W)$. Dazu brauchst du den sogenannten ``Homomorphiesatz'' (vielleicht ist ja Aufgabe 2 der Homomorphiesatz in disguise).
Der Homomorphiesatz besagt ja: Wenn $f : V [mm] \to [/mm] W$ linear ist und $U [mm] \subseteq \ker [/mm] f$ liegt, dann gibt es genau eine lineare Abbildung [mm] $\hat{f} [/mm] : V/U [mm] \to [/mm] W$ mit [mm] $\hat{f} \circ \pi [/mm] = f$, wobei [mm] $\pi [/mm] : V [mm] \to [/mm] V/U$ die kanonische Projektion $v [mm] \mapsto [/mm] v + U$ ist.
Das liefert dir eine bijektive Abbildung [mm] $\Phi [/mm] : [mm] \ker [/mm] R [mm] \to [/mm] Hom(V/U, W)$ durch $f [mm] \mapsto \hat{f}$. [/mm] (Die Injektivitaet und Wohldefiniertheit folgt aus dem Homomorphiesatz, die Surjektivitaet ist ganz einfach.)
Jetzt musst du nur noch zeigen, dass diese Abbildung [mm] $\Phi$ [/mm] linear ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:42 Di 02.05.2006 | | Autor: | AriR |
jo alles klar vielen dank.. mache mich mal gleich an die aufgabe ran :)
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