abelsche Gruppe? < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Di 06.11.2007 | | Autor: | DerVogel |
| Aufgabe | Sei G eine endliche Gruppe und [mm] \phi [/mm] : G [mm] \to [/mm] G ein fixpunktfreier Homomorphismus, das heißt wenn gilt [mm] \phi [/mm] (x) = x so folgt x = e. Beweisen Sie folgende Aussagen:
1. Für alle x [mm] \in [/mm] G gibt es ein y [mm] \in [/mm] G so dass gilt: [mm] x=y^{-1}*\phi(y)
[/mm]
2. Gilt zusätzlich noch [mm] \phi^2=id [/mm] , so folgt, dass G eine abelsche Gruppe ist. |
Hallo,
ich hab eine frage zu obiger Aufgabe.
Zu 1.) ich nehme an, dass [mm] \phi(y)=y [/mm] und folgere daraus dass [mm] y=e^{-1}*\phi(e)=e.
[/mm]
Wenn allerdings [mm] y\not=e [/mm] habe ich keinen Ansatz. Kann mir jmd helfen?
2.) es ist zz: xy = yx .
ich wollte das über [mm] \phi(xy)=\phi(yx) [/mm] beweisen.
Habe angefangen: [mm] \phi(yx)=\phi(\phi(y))=y [/mm]
Dieses gilt, wenn ich die Aussage aus 1. in [mm] yx=\phi(y) [/mm] umgeformt habe.
Für die andere Richtung, also zu zeigen, dass [mm] \phi(xy)=y [/mm] ist, habe ich keine Idee.
Oder geht das anders einfacher? Für sachdienliche Hinweise bin ich dankbar :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Di 06.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Zu 1.) ich nehme an, dass [mm]\phi(y)=y[/mm] und folgere daraus dass
> [mm]y=e^{-1}*\phi(e)=e.[/mm]
> Wenn allerdings [mm]y\not=e[/mm] habe ich keinen Ansatz. Kann mir
> jmd helfen?
erstmal dazu: betrachte die abbildung $f: G [mm] \longrightarrow [/mm] G; [mm] \; [/mm] y [mm] \longmapsto y^{-1} \phi(y)$. [/mm] was lässt sich über die injektivität und surjektivität dieser abbildung aussagen (probiere einfach mal den ansatz $f(y) = f(z)$ und folgere unter der verwenfung der fixpunktfreiheit von [mm] $\phi$, [/mm] dass $y = z$).
> 2.) es ist zz: xy = yx .
> ich wollte das über [mm]\phi(xy)=\phi(yx)[/mm] beweisen.
> Habe angefangen: [mm]\phi(yx)=\phi(\phi(y))=y[/mm]
das gilt dann aber nur für eine bestimmte wahl von $x$. du musst die obige gleichung aber für alle $x$ verifzieren.
probiere mal wie weit du damit bei 1) kommst.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Di 06.11.2007 | | Autor: | DerVogel |
> erstmal dazu: betrachte die abbildung [mm]f: G \longrightarrow G; \; y \longmapsto y^{-1} \phi(y)[/mm].
> was lässt sich über die injektivität und surjektivität
> dieser abbildung aussagen (probiere einfach mal den ansatz
> [mm]f(y) = f(z)[/mm] und folgere unter der verwenfung der
> fixpunktfreiheit von [mm]\phi[/mm], dass [mm]y = z[/mm]).
Also habe ich dann [mm] f(y)=f(z)\Rightarrowy^{-1}*\phi(y)=z^{-1}*\phi(z)
[/mm]
Daraus folgt dass y=z sein muss, denn es gibt keinen Fixpunkt außer e, denn sonst wäre [mm] \phi(y)=y [/mm] also y=e, die Gleichung e=e bringt uns aber nicht weiter.
Surjektiv ist sie auch, also bijektiv. Doch was bringt mir diese Abbildung f für die Aufgabe? Ein kurzer Hinweis zum Zusammenhang wäre nett.
> > 2.) es ist zz: xy = yx .
> > ich wollte das über [mm]\phi(xy)=\phi(yx)[/mm] beweisen.
> > Habe angefangen: [mm]\phi(yx)=\phi(\phi(y))=y[/mm]
>
> das gilt dann aber nur für eine bestimmte wahl von [mm]x[/mm]. du
> musst die obige gleichung aber für alle [mm]x[/mm] verifzieren.
>
> probiere mal wie weit du damit bei 1) kommst.
joa, da weiß ich nun auch nicht weiter...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Mi 07.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Also habe ich dann
> [mm]f(y)=f(z)\Rightarrowy^{-1}*\phi(y)=z^{-1}*\phi(z)[/mm]
also ich sehe das nicht. wie kommst du darauf? forme $f(y) = f(z)$ so um, dass alle terme mit [mm] $\phi$ [/mm] auf einer seite stehen, alle ohne [mm] $\phi$ [/mm] auf der anderen seite des gleichheitszeichen. was erhält man?
> Surjektiv ist sie auch
warum?
> Doch was bringt mir
> diese Abbildung f für die Aufgabe? Ein kurzer Hinweis zum
> Zusammenhang wäre nett.
vielleicht ist die surjektivität von $f$ genau das, was du in dieser aufgabe zeigen willst?
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:37 Mi 07.11.2007 | | Autor: | DerVogel |
Jo danke, alles klar
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