abelsche Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Do 21.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Man beweise,dass jede Gruppe mit höchstens 5 Elementen abelsch ist. |
Hallo zusammen^^
Ich will diese Aufgabe lösen,hab aber noch nicht die richtige Idee wie ich das mache.
Höchstens 5 heißt ja, entweder 0,1,2,3,4 oder 5 Elemente,wobei ich mir nicht sicher bin,ob eine Gruppe mit 0 Elementen abelsch sein kann.Ich glaube,es kann überhaupt keine Gruppe mit 0 Elementen geben oder?
Ich hab mir das so gedacht,dass für 5 Gruppen mit jeweils 1,2,3,4 und 5 Elementen beweise,dass sie abelsch sind,zunächst muss ich noch zeigen,dass es sich um eine Gruppe handelt,aber ich glaube damit ist es nicht bewiesen und das dauert auch viel zu lange.
Das "höchstens" bereitet mir Schwierigkeiten.Kann mir jemand einen Tipp geben,wie ich anfangen kann?
lg
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Hallo Mandy,
> Man beweise,dass jede Gruppe mit höchstens 5 Elementen
> abelsch ist.
> Hallo zusammen^^
>
> Ich will diese Aufgabe lösen,hab aber noch nicht die
> richtige Idee wie ich das mache.
> Höchstens 5 heißt ja, entweder 0,1,2,3,4 oder 5
> Elemente,wobei ich mir nicht sicher bin,ob eine Gruppe mit
> 0 Elementen abelsch sein kann.Ich glaube,es kann überhaupt
> keine Gruppe mit 0 Elementen geben oder?
>
> Ich hab mir das so gedacht,dass für 5 Gruppen mit jeweils
> 1,2,3,4 und oder 5 Elementen beweise,dass sie abelsch
> sind,
Jo, das ist die Aufgabe
> zunächst muss ich noch zeigen,dass es sich um eine
> Gruppe handelt,
Nee
> aber ich glaube damit ist es nicht bewiesen
> und das dauert auch viel zu lange.
>
> Das "höchstens" bereitet mir Schwierigkeiten.Kann mir
> jemand einen Tipp geben,wie ich anfangen kann?
Nun, du sollst zeigen, dass Gruppen mit Ordnung 1,2,3,4 oder 5 allesamt abelsch sind.
Wenn die Ordnung 1 ist, besteht die Gruppe nur aus dem neutralen Element: [mm]G=\{e\}[/mm] , das ist trivialerweise abelsch.
Weiter beachte, dass die Gruppen mit Primzahlordnungen, also [mm]G[/mm] mit [mm]|G|\in\{2,3,5\}[/mm] zyklisch sind.
Was weißt du über zyklische Gruppen?
Bleiben Gruppen der Ordnung 4, also mit 4 Elementen.
Da gibt's 2 Möglichkeiten:
Welche?
>
> lg
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Do 21.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy,
>
> > Man beweise,dass jede Gruppe mit höchstens 5 Elementen
> > abelsch ist.
> > Hallo zusammen^^
> >
> > Ich will diese Aufgabe lösen,hab aber noch nicht die
> > richtige Idee wie ich das mache.
> > Höchstens 5 heißt ja, entweder 0,1,2,3,4 oder 5
> > Elemente,wobei ich mir nicht sicher bin,ob eine Gruppe mit
> > 0 Elementen abelsch sein kann.Ich glaube,es kann überhaupt
> > keine Gruppe mit 0 Elementen geben oder?
> >
> > Ich hab mir das so gedacht,dass für 5 Gruppen mit jeweils
> > 1,2,3,4 und oder 5 Elementen beweise,dass sie abelsch
> > sind,
>
> Jo, das ist die Aufgabe
>
> > zunächst muss ich noch zeigen,dass es sich um eine
> > Gruppe handelt,
>
> Nee
>
> > aber ich glaube damit ist es nicht bewiesen
> > und das dauert auch viel zu lange.
> >
> > Das "höchstens" bereitet mir Schwierigkeiten.Kann mir
> > jemand einen Tipp geben,wie ich anfangen kann?
>
> Nun, du sollst zeigen, dass Gruppen mit Ordnung 1,2,3,4
> oder 5 allesamt abelsch sind.
>
> Wenn die Ordnung 1 ist, besteht die Gruppe nur aus dem
> neutralen Element: [mm]G=\{e\}[/mm] , das ist trivialerweise
> abelsch.
ok.
>
> Weiter beachte, dass die Gruppen mit Primzahlordnungen,
> also [mm]G[/mm] mit [mm]|G|\in\{2,3,5\}[/mm] zyklisch sind.
>
> Was weißt du über zyklische Gruppen?
Eigentlich nichts,hab aber grad bei Wikipedia geschaut.Bei zyklischen Gruppen gibt es ein Element a und alle anderen Elemente der Gruppe isnd Potenzen von a.Aber was ist hier das a?
Und kann ich für die 2-elementige Gruppe nicht einfach zeigen,dass G={e,x} abelsch ist?
>
> Bleiben Gruppen der Ordnung 4, also mit 4 Elementen.
>
> Da gibt's 2 Möglichkeiten:
2 Möglichkeiten von was?
>
> Welche?
>
> >
> > lg
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 Do 21.10.2010 | | Autor: | wieschoo |
> 2 Möglichkeiten von was?
2 Möglichkeiten von Gruppen mit 4 Elementen.
> Aber was ist hier das a?
Das ist der Erzeuger.
> Und kann ich für die 2-elementige Gruppe nicht einfach zeigen,dass G={e,x} abelsch ist?
Das ginge auch. Jedoch haben zyklische Gruppen gerade die schöne Eigenschaft.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 Fr 22.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > 2 Möglichkeiten von was?
> 2 Möglichkeiten von Gruppen mit 4 Elementen.
Also ist sie entweder abelsch oder nicht.Kann ich dann einfach eine Gruppe G:={e,a,b,c} und zeigen dass sie abelsch ist?
>
> > Aber was ist hier das a?
> Das ist der Erzeuger.
Ich versteh das nicht so ganz.Also bei einer Gruppe mit 1 Elemenet kann ich zeigen,dass sie abelsch ist.Bei einer Gruppe mit 2 Elementetn auch.
Kann ich das bei einer Gruppe mit 4 Elementen so machen wie ich es oben geschrieben habe?
Bleiben noch eine Gruppe mit 3 und 5 Elementen.Zyklische Gruppen hatten wir nicht.Was bedeutet das denn für die Aufgabe wenn die Gruppen mit den Ordnungen 3 und 5 zyklisch sind?
lg
>
> > Und kann ich für die 2-elementige Gruppe nicht einfach
> zeigen,dass G={e,x} abelsch ist?
> Das ginge auch. Jedoch haben zyklische Gruppen gerade die
> schöne Eigenschaft.
>
>
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Hallo Mandy,
> > > 2 Möglichkeiten von was?
> > 2 Möglichkeiten von Gruppen mit 4 Elementen.
>
> Also ist sie entweder abelsch oder nicht.
Nein, das passt doch auch gar nicht zur Aufgabenstellung!
Mit den beiden Möglichkeiten meine ich
1) Es gibt ein Element der Ordung 4, dann wird die Gruppe von diesem ELement erzeugt, ist also zyklisch und damit abelsch
2) Es gibt ein solches Element nicht. Wie muss dann die Gruppe aussehen, bzw. welche "nette" Eigenschaft müssen die Elemente haben?
> Kann ich dann
> einfach eine Gruppe G:={e,a,b,c} und zeigen dass sie
> abelsch ist?
> >
> > > Aber was ist hier das a?
> > Das ist der Erzeuger.
>
> Ich versteh das nicht so ganz.Also bei einer Gruppe mit 1
> Elemenet kann ich zeigen,dass sie abelsch ist.Bei einer
> Gruppe mit 2 Elementetn auch.
> Kann ich das bei einer Gruppe mit 4 Elementen so machen
> wie ich es oben geschrieben habe?
> Bleiben noch eine Gruppe mit 3 und 5 Elementen.Zyklische
> Gruppen hatten wir nicht.Was bedeutet das denn für die
> Aufgabe wenn die Gruppen mit den Ordnungen 3 und 5 zyklisch
> sind?
Zyklische Gruppen sind abelsch, sie werden von einem Element [mm]a[/mm] erzeugt, nimm etwa die zyklische Gruppe der Ordung 5, die von a erzeugt wird. Sie enthält 5 Elemente (Ordung=5), sieht also so aus:
[mm]G=\{e=1=a^0,a,a^2,a^3,a^4\}[/mm] wobei ich die Verknüpfung multiplikativ geschrieben habe [mm]\underbrace{a\cdot{}a\cdot{}a\cdot{}\ldots\cdot{}a}_{n-mal}=a^n[/mm]
Additiv würde man schreiben, [mm]G=\{e=0=0\cdot{}a,a,2a,3a,4a\}[/mm] wobei [mm]\underbrace{a+a+a+\ldots +a}_{n-mal}=n\cdot{}a[/mm] ist.
Diese Gruppe ist abelsch.
Außerdem sind alle Gruppen von Primzahlordnung zyklisch. Hier also die mit Ordnung 2,3,5. Die hättest du mit einem Schlag erledigt.
Aber wenn ihr die nicht hattet, nützt dir das wenig.
Vllt. machst du es doch mit Verknüpfungstafeln ...
Man müsste wissen, was ihr alles schon über Gruppen hattet ...
> lg
>
> >
> > > Und kann ich für die 2-elementige Gruppe nicht einfach
> > zeigen,dass G={e,x} abelsch ist?
> > Das ginge auch. Jedoch haben zyklische Gruppen gerade die
> > schöne Eigenschaft.
>
... abelsch zu ein
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Fr 22.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok,da wir zyklische Gruppen nicht hatten,mach ich es nun mit einer Gruppentafel.
nurmal so nebenbei: Kann man diese Aufgabe eigentlich mit einem Widerspruchsbeweis lösen?
Also man nimmt an,dass jede Gruppe mit höchstens 5 Elementen nicht abelsch ist und zeigt,dass das nicht stimmt?
Aber ich glaub,das wäre irgendwie doch umständlicher....
Naja zurück zur Gruppentafel:
Also ich wollte zeigen,dass Gruppen mit einem und mit 2 Elementen abelsch sind.Für 3,4 und 5 Elemente erstelle ich eine Gruppentafel.
In der anderen Diskussion habe ich ja schon eine für 4 Elemente.Ich hab dann eine Gruppe mit 3 Elementen G:={e,a,b} und eine mit 5 Elementen H:={e,a,b,c,d}.
So,wenn ich mir jetzt dazu die Gruppentafeln aufzeichne,dann muss ich doch zuerst begründen dass es sich bei G und H um Gruppen handelt oder?Also muss ich dann wieder die ganzen Gruppenaxiome durchrechnen?
Und wenn ich gezeigt habe,dass es sich um abelsche Gruppen handelt,ist dann damit die Aufgabe gelöst?
Also habe ich gezeigt,dass jede Gruppe mit höchstens 5 Elementen abelsch ist?
Müsste ich eigentlich nicht noch zeigen,dass eine Gruppe mit 6 Elementen nicht abelsch ist?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:18 Fr 22.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst NICHT zeigen, dass es eine Gruppe ist, wie auch , wenn due einfach 1,a,b hinschreibst? sondern das ist die Vors.
also e,a,b bilden eine Gruppe. Beh: die Gruppe ist abelsch.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Fr 22.10.2010 | | Autor: | Mousegg |
Mein Gedanke war dass wenn man von einer Gruppe ausgeht G{e,x,y,z,v} man dann beweisen kann dass sie abelsch ist wenn man zeigt dass die annahme die Gruppe sei nicht kommutativ zu einem Widerspruch führt.
Geht man davon aus x*y=z so darf demnach y*z nicht gleich z sein ist also beispielsweise y*x=v . Alle weiteren Verknüpfungen von einem beliebigen E von G mit x oder y dürfen demnach nicht =z oder = v sein ,da sich sonst beispielweise für x*z=v und y*x=v zeigen lässt dass x*z=y*x => z=y was ein Widerspruch wäre da die gruppe aber nur 5 elemente enthällt kommt es so meiner meinung nach zwangsläufig zu einem Widerspruch Frage an alle lässt sich so der indirekte Beweis formulieren?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Fr 22.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
vielleicht sollte jemand die Mitteilung von Mousegg in eine Frage umwandeln ^^
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:31 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Mousegg |
Also ich formulier das nochmal anders ich hoffe das der Beweis schlüssig ist :
1.)Hat ein beliebiges paar a*b eine Lösung X mit x beliebiges Element der 5 elementigen Menge G so darf eine Verknüpfung eines Elements dieses Paars ( also entweder a oder b) mit einem beliebigen Element von G nicht dieselbe Lösung X haben ( sonst kann man ja zeigen dass zB a*b=z und y*a=z => a*b=y*a => b=y also ein Widerspruch zu der Annahme G hat 5 Elemente)
2.)Geht man nun davon aus dass die Gruppe nicht abelsch ist gibt es insgesamt 6 Verknüpungen von einem Element mit beliebigen anderen Elementen (lässt man die mit dem neutralen und die mit sich selbst aus ) da G nicht abelsch ist haben demnach a*b und b*a unterschiedliche Lösungen .
Für alle weiteren Verknüpfungen von a bzw. b ( also jeweils 4 ) dürfen die Lösungen von a*b und b*a nach 1.) also nciht mehr verwendet werden . Somit gibt es für die 4 Verknüpfungen nur noch 5-2=3 Lösungen dh. es kommt zwangsläufig zu einer "Doppelbelegung" bzw einem Widerspruch wie in 1.) ausgeschlossen => Widerspruch
Oder hab ich vielleicht was übersehen was sehr gut möglich wäre ?
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Ich versuche grad deinen Beweis zu nachvollziehen,also wir haben eine Gruppe mit 5 Elementen,sagen wir G={a,b,c,y,z}.
> 1.)Hat ein beliebiges paar a*b eine Lösung X mit x
> beliebiges Element der 5 elementigen Menge G so darf eine
> Verknüpfung eines Elements dieses Paars ( also entweder a
> oder b) mit einem beliebigen Element von G nicht dieselbe
> Lösung X haben ( sonst kann man ja zeigen dass zB a*b=z
> und y*a=z => a*b=y*a => b=y also ein Widerspruch zu der
> Annahme G hat 5 Elemente)
Ok, bis hier hin ist es klar.
>
> 2.)Geht man nun davon aus dass die Gruppe nicht abelsch ist
> gibt es insgesamt 6 Verknüpungen von einem Element mit
welche 6 Verknüpfungen sind das?
Ich habe a*b,a*c,a*y,a*z,y*a,z*a,b*a,c*a,a*a
> beliebigen anderen Elementen (lässt man die mit dem
> neutralen und die mit sich selbst aus ) da G nicht abelsch
> ist haben demnach a*b und b*a unterschiedliche Lösungen .
Wenn man a*a weglässt,hab ich noch 8,aber welche wäre denn die Verknüpfung mit dem neutralen Element.Kann ich z.B. sagen c ist das neutrale Element zu a und lasse dann die beiden Verknüpfungen a*c und c*a weg, dann hab ich 6 Verknüpfungen.Kommst du so auf deine 6 Verknüpfungen?
> Für alle weiteren Verknüpfungen von a bzw. b ( also
> jeweils 4 ) dürfen die Lösungen von a*b und b*a nach 1.)
> also nciht mehr verwendet werden . Somit gibt es für die 4
> Verknüpfungen nur noch 5-2=3 Lösungen dh. es kommt
> zwangsläufig zu einer "Doppelbelegung" bzw einem
> Widerspruch wie in 1.) ausgeschlossen => Widerspruch
Diesen Teil verstehe ich nicht, welche 4 Verknüpfungen meinst du hier?
Und wie kommst du auf die 5-2=3 Lösungen?
Was genau ist mit Doppelbelegung gemeint?
Kannst du das vielleicht mit einem Beispiel erklären?
lg
>
> Oder hab ich vielleicht was übersehen was sehr gut
> möglich wäre ?
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 17:39 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Mousegg |
hallo,
ok ich versuch es nochmal man hat also eine gruppe
g{e,a,b,c,d}
wenn also bspw. a*b=c ( a bzw.b fallen raus )
so könnte b*a wenn g nicht kommutativ ist ja zB b*a=d
sein
jetzt gibt es aber noch folgende kombinationen mit bsw. a
a*c
c*a
a*d
d*a
all diese Verknüpfungen dürfen nicht c oder d als Lösung
haben wäre z.B a*c=d ergibt sich da b*a=d dann ja c=b also
ein Widerspruch oder
leduart hat mich aber darauf aufmerksam gemacht dass
ac=ca=e und ad=da=b
und ab=c und ba=d immer noch möglich ist
ich war davon ausgegangen dass alle elemente miteinander nicht kommutativ sein müssen aber es reicht ja wenn nur eines nicht kommutativ ist . ist 1 kommutativ und die anderen nicht ist mein widerspruch dummerweise keiner mehr bin jetzt etwas ratlos wie ich einen neuen finde ??!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mo 25.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 26.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mo 25.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:57 Fr 22.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Warum nicht xy=e und yx=v, ? ich seh noch nicht wie du zu dem Widerspruch kommst , wenn du ihn hast musst du das genauer ausführen.
Gruss leduart
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