abelsche Gruppe < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Sei K ein Körper.Man beweise,dass die Matrizen [mm] \pmat{ a & b \\ 0 & d } \in R^{2x2}, [/mm] a,d [mm] \not=0, [/mm] mit der Matrixmultiplikation eine Gruppe bilden.Man beweise,dass diese Gruppe genau dann abelsch ist,wenn K aus zwei Elementen (0 und 1) besteht. |
Hallo^^
Den ersten Teil mit der Gruppe hab ich bewiesen.Ich muss noch zeigen,dass diese Gruppe abelsch ist,wenn K aus 0 und 1 besteht.
Ich verstehe aber nicht genau wie das gemeint ist,denn es gibt ja mehrere Möglichkeiten eine Matrix aus den Elementen 1 und 0 zu konstruieren, z.B.
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] oder [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }.Muss [/mm] ich dann alle Möglichkeiten durchgehen,also jede Matrix die 0 und 1 enthält mit jeder multiplizieren die 0 und 1 enthält?
Oder muss ich das nur für die Matrizen [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] und [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }machen,da [/mm] ja a,d [mm] \not=0 [/mm] ist,also müssen a und d 1 sein und b kann einmal 0 und einmal 1 sein?
lg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 Mo 01.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Oder muss ich das nur für die Matrizen [mm]\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 }[/mm]
> und [mm]\pmat{ 1 & 1 \\
0 & 1 }machen,da[/mm] ja a,d [mm]\not=0[/mm]
> ist,
Das wäre auch meine Interpretation.
Aber selbst wenn nicht, wären es ja nur 8 Matrizen, die du auf Kommutativität untersuchen musst.
> lg
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 Sa 06.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Oder muss ich das nur für die Matrizen [mm]\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 }[/mm]
> > und [mm]\pmat{ 1 & 1 \\
0 & 1 }machen,da[/mm] ja a,d [mm]\not=0[/mm]
> > ist,
>
> Das wäre auch meine Interpretation.
>
> Aber selbst wenn nicht, wären es ja nur 8 Matrizen, die du
> auf Kommutativität untersuchen musst.
Die Gruppe besteht dann aber nur aus zwei Matrizen :)
Und was noch fehlt ist die Rueckrichtung: ist die Gruppe kommutativ, so ist $|K| = 2$. Dazu benoetigt man, dass $K$ neben 0 und 1 noch ein weiteres Element [mm] $\alpha$ [/mm] enthaelt.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 So 07.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Moin!
>
> > > Oder muss ich das nur für die Matrizen [mm]\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 }[/mm]
> > > und [mm]\pmat{ 1 & 1 \\
0 & 1 }machen,da[/mm] ja a,d [mm]\not=0[/mm]
> > > ist,
> >
> > Das wäre auch meine Interpretation.
> >
> > Aber selbst wenn nicht, wären es ja nur 8 Matrizen, die du
> > auf Kommutativität untersuchen musst.
>
> Die Gruppe besteht dann aber nur aus zwei Matrizen :)
Ist das dann falsch ?
>
> Und was noch fehlt ist die Rueckrichtung: ist die Gruppe
> kommutativ, so ist [mm]|K| = 2[/mm]. Dazu benoetigt man, dass [mm]K[/mm]
> neben 0 und 1 noch ein weiteres Element [mm]\alpha[/mm] enthaelt.
Wie zeig ich das denn? Da bin ich grad etwas überfordert...
lg
|
|
|
| |
|
> > Moin!
> >
> > > > Oder muss ich das nur für die Matrizen [mm]\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 }[/mm]
> > > > und [mm]\pmat{ 1 & 1 \\
0 & 1 }machen,da[/mm] ja a,d [mm]\not=0[/mm]
> > > > ist,
> > >
> > > Das wäre auch meine Interpretation.
> > >
> > > Aber selbst wenn nicht, wären es ja nur 8 Matrizen, die du
> > > auf Kommutativität untersuchen musst.
> >
> > Die Gruppe besteht dann aber nur aus zwei Matrizen :)
>
> Ist das dann falsch ?
Hallo,
nein. Es war lediglich eine Feststellung, keine Kritik.
> >
> > Und was noch fehlt ist die Rueckrichtung: ist die Gruppe
> > kommutativ, so ist [mm]|K| = 2[/mm]. Dazu benoetigt man, dass [mm]K[/mm]
> > neben 0 und 1 noch ein weiteres Element [mm]\alpha[/mm] enthaelt.
>
> Wie zeig ich das denn? Da bin ich grad etwas
> überfordert...
Naja, der Gedanke, daß es, wenn K nicht nur 2 Elemente enthält, noch ein drittes gibt, ist ja nicht so spektakulär.
Angenommen also, es gäbe in K ein Element [mm] \alpha [/mm] mit [mm] \alpha\not=0,1.
[/mm]
Jetzt würde ich mal versuchen, eine Matrix zu finden, bei der die Kommutativität platzt.
Wenn Dir das gelingt, hast Du gezeigt, daß der Körper nicht mehr als zwei Elemente haben darf, und für den Körper mit zwei Elementen wissen wir, daß die entsprechende Gruppe kommutativ ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 So 07.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
>
> > > Moin!
> > >
> > > > > Oder muss ich das nur für die Matrizen [mm]\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 }[/mm]
> > > > > und [mm]\pmat{ 1 & 1 \\
0 & 1 }machen,da[/mm] ja a,d
> > Wie zeig ich das denn? Da bin ich grad etwas
> > überfordert...
>
> Naja, der Gedanke, daß es, wenn K nicht nur 2 Elemente
> enthält, noch ein drittes gibt, ist ja nicht so
> spektakulär.
>
> Angenommen also, es gäbe in K ein Element [mm]\alpha[/mm] mit
> [mm]\alpha\not=1,2.[/mm]
Muss es nicht heißen [mm]\alpha\not=1,0.[/mm] ?
> Jetzt würde ich mal versuchen, eine Matrix zu finden, bei
> der die Kommutativität platzt.
> Wenn Dir das gelingt, hast Du gezeigt, daß der Körper
> nicht mehr als zwei Elemente haben darf, und für den
> Körper mit zwei Elementen wissen wir, daß die
> entsprechende Gruppe kommutativ ist.
>
> Gruß v. Angela
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 So 07.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
> >
> > Angenommen also, es gäbe in K ein Element [mm]\alpha[/mm] mit
> > [mm]\alpha\not=1,2.[/mm]
>
> Muss es nicht heißen [mm]\alpha\not=1,0.[/mm] ?
>
Yep. Oder noch besser: [mm] \alpha\in\IK [/mm] aber [mm] \alpha\ne0;1
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 So 07.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Naja, der Gedanke, daß es, wenn K nicht nur 2 Elemente
> enthält, noch ein drittes gibt, ist ja nicht so
> spektakulär.
>
> Angenommen also, es gäbe in K ein Element [mm]\alpha[/mm] mit
> [mm]\alpha\not=0,1.[/mm]
> Jetzt würde ich mal versuchen, eine Matrix zu finden, bei
> der die Kommutativität platzt.
> Wenn Dir das gelingt, hast Du gezeigt, daß der Körper
> nicht mehr als zwei Elemente haben darf, und für den
> Körper mit zwei Elementen wissen wir, daß die
> entsprechende Gruppe kommutativ ist.
>
Kann ich mir z.B. die Matrizen [mm] A=\pmat{ 1 & \alpha \\ 0 & 1 } [/mm] und [mm] B=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & \alpha } [/mm] nehmen,denn die sind ja nicht kommutativ?
lg
|
|
|
| |
|
>
> > Naja, der Gedanke, daß es, wenn K nicht nur 2 Elemente
> > enthält, noch ein drittes gibt, ist ja nicht so
> > spektakulär.
> >
> > Angenommen also, es gäbe in K ein Element [mm]\alpha[/mm] mit
> > [mm]\alpha\not=0,1.[/mm]
> > Jetzt würde ich mal versuchen, eine Matrix zu finden,
> bei
> > der die Kommutativität platzt.
> > Wenn Dir das gelingt, hast Du gezeigt, daß der Körper
> > nicht mehr als zwei Elemente haben darf, und für den
> > Körper mit zwei Elementen wissen wir, daß die
> > entsprechende Gruppe kommutativ ist.
> >
>
> Kann ich mir z.B. die Matrizen [mm]A=\pmat{ 1 & \alpha \\
0 & 1 }[/mm]
> und [mm]B=\pmat{ 1 & 0 \\
0 & \alpha }[/mm] nehmen,denn die sind ja
> nicht kommutativ?
Hallo,
welche Ergebnisse bekommst Du hier beim Multiplizieren, und woran siehst Du, daß die Ergebnisse nicht gleich sind?
Gruß v. Angela
>
> lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 So 07.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Kann ich mir z.B. die Matrizen [mm]A=\pmat{ 1 & \alpha \\
0 & 1 }[/mm]
> > und [mm]B=\pmat{ 1 & 0 \\
0 & \alpha }[/mm] nehmen,denn die sind
> ja
> > nicht kommutativ?
>
> Hallo,
>
> welche Ergebnisse bekommst Du hier beim Multiplizieren, und
> woran siehst Du, daß die Ergebnisse nicht gleich sind?
>
Ich bekomme [mm] A*B=\pmat{ 1 & \alpha \\ 0 & 1 }*\pmat{ 1 & 0 \\
0 & \alpha }=\pmat{ 1 & \alpha^{2} \\ 0 & \alpha }
[/mm]
und [mm] B*A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & \alpha }*\pmat{ 1 & \alpha \\ 0 & 1 }=\pmat{ 1 & \alpha \\ 0 & \alpha }
[/mm]
Und die sind nicht gleich,weil bei A*B anstelle von [mm] \alpha [/mm] das [mm] \alpha^{2} [/mm] steht ?
lg
|
|
|
| |
|
> > > Kann ich mir z.B. die Matrizen [mm]A=\pmat{ 1 & \alpha \\
0 & 1 }[/mm]
> > > und [mm]B=\pmat{ 1 & 0 \\
0 & \alpha }[/mm] nehmen,denn die
> sind
> > ja
> > > nicht kommutativ?
> >
> > Hallo,
> >
> > welche Ergebnisse bekommst Du hier beim Multiplizieren, und
> > woran siehst Du, daß die Ergebnisse nicht gleich sind?
> >
>
> Ich bekomme [mm]A*B=\pmat{ 1 & \alpha \\
0 & 1 }*\pmat{ 1 & 0 \\
0 & \alpha }=\pmat{ 1 & \alpha^{2} \\
0 & \alpha }[/mm]
>
> und [mm]B*A=\pmat{ 1 & 0 \\
0 & \alpha }*\pmat{ 1 & \alpha \\
0 & 1 }=\pmat{ 1 & \alpha \\
0 & \alpha }[/mm]
>
> Und die sind nicht gleich,weil bei A*B anstelle von [mm]\alpha[/mm]
> das [mm]\alpha^{2}[/mm] steht ?
Hallo,
könnte denn nicht [mm] \alpha=\alpha^2 [/mm] sein?
Gruß v. Angela
>
> lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 So 07.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
>
> Hallo,
>
> könnte denn nicht [mm]\alpha=\alpha^2[/mm] sein?
>
Ich glaube nicht,aber ich hab keine richtige Begründung dafür ???
lg
|
|
|
| |
|
>
> >
> > Hallo,
> >
> > könnte denn nicht [mm]\alpha=\alpha^2[/mm] sein?
> >
> Ich glaube nicht,aber ich hab keine richtige Begründung
> dafür ???
Hallo,
wie Du ahnst, spielt Dein Glaube nicht so die große Rolle hier.
Bedenke, daß Du im Körper bist und [mm] \alpha\not=0 [/mm] ist. Es gibt also ein Inverses...
Gruß v. Angela
>
> lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 So 07.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
>
> >
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > könnte denn nicht [mm]\alpha=\alpha^2[/mm] sein?
> > >
> > Ich glaube nicht,aber ich hab keine richtige Begründung
> > dafür ???
>
> Hallo,
>
> wie Du ahnst, spielt Dein Glaube nicht so die große Rolle
> hier.
>
> Bedenke, daß Du im Körper bist und [mm]\alpha\not=0[/mm] ist. Es
> gibt also ein Inverses...
Heißt das [mm] \alpha=\alpha^{2} [/mm] ?
Aber wie finde ich denn sonst solche Matrizen,die nicht kommutativ sind?
Muss ich einfach mal ausprobieren und rechnen bis ich zwei gefunden hab?
lg
>
> Gruß v. Angela
> >
> > lg
>
|
|
|
| |
|
> >
> > >
> > > >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > könnte denn nicht [mm]\alpha=\alpha^2[/mm] sein?
> > > >
> > > Ich glaube nicht,aber ich hab keine richtige Begründung
> > > dafür ???
> >
> > Hallo,
> >
> > wie Du ahnst, spielt Dein Glaube nicht so die große Rolle
> > hier.
> >
> > Bedenke, daß Du im Körper bist und [mm]\alpha\not=0[/mm] ist. Es
> > gibt also ein Inverses...
>
> Heißt das [mm]\alpha=\alpha^{2}[/mm] ?
???
> Aber wie finde ich denn sonst solche Matrizen,die nicht
> kommutativ sind?
Du mußt doch gar keine neue Matrix suchen.
Du sollst sagen, warum nicht [mm] \alpha=\alpha^2 [/mm] sein kann.
Du kannst die Annahme, daß [mm] alpha=\alpha^2 [/mm] ist, mit mienem Hinweis zum Widerspruch führen.
Du mußt gründlicher überlegen und mehr probieren. Das braucht Zeit.
Nachfragen im 5-Minuten-Takt sind die falsche Strategie, wenn Du Mathematik lernen möchtest.
Gruß v. Angela
> Muss ich einfach mal ausprobieren und rechnen bis ich zwei
> gefunden hab?
>
> lg
> >
> > Gruß v. Angela
> > >
> > > lg
> >
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 So 07.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > > Hallo,
> > >
> > > wie Du ahnst, spielt Dein Glaube nicht so die große Rolle
> > > hier.
> > >
> > > Bedenke, daß Du im Körper bist und [mm]\alpha\not=0[/mm] ist. Es
> > > gibt also ein Inverses...
> >
> > Heißt das [mm]\alpha=\alpha^{2}[/mm] ?
>
> ???
>
> > Aber wie finde ich denn sonst solche Matrizen,die nicht
> > kommutativ sind?
>
> Du mußt doch gar keine neue Matrix suchen.
> Du sollst sagen, warum nicht [mm]\alpha=\alpha^2[/mm] sein kann.
> Du kannst die Annahme, daß [mm]alpha=\alpha^2[/mm] ist, mit mienem
> Hinweis zum Widerspruch führen.
> Du mußt gründlicher überlegen und mehr probieren. Das
> braucht Zeit.
> Nachfragen im 5-Minuten-Takt sind die falsche Strategie,
> wenn Du Mathematik lernen möchtest.
>
Ja stimmt.
Ok,also ich muss zeigen,dass [mm]\alpha=\alpha^2[/mm] nicht sein kann.Wie du sagtest, ist [mm] \alpha \not= [/mm] 0,1 und [mm] \alpha [/mm] hat ein Inverses.
Also das neutrale Element zu [mm] \alpha [/mm] ist doch die 1, denn [mm] \alpha*1=\alpha.
[/mm]
Und wenn [mm] \alpha=\alpha*\alpha=\alpha^2 [/mm] ist,dann müsste das neutrale Element von [mm] \alpha [/mm] ja [mm] \alpha [/mm] selbst sein.
Und wenn ich jetzt das Inverse ausrechnen will,dann muss gelten [mm] \alpha*Inverses=\alpha [/mm] ,dann hab ich für das Inverse auch [mm] \alpha [/mm] raus.Und [mm] \alpha [/mm] kann ja nicht zu sich selbst invers und neutral sein oder?
lg
|
|
|
| |
|
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > wie Du ahnst, spielt Dein Glaube nicht so die große Rolle
> > > > hier.
> > > >
> > > > Bedenke, daß Du im Körper bist und [mm]\alpha\not=0[/mm] ist. Es
> > > > gibt also ein Inverses...
> > >
> > > Heißt das [mm]\alpha=\alpha^{2}[/mm] ?
> >
> > ???
> >
> > > Aber wie finde ich denn sonst solche Matrizen,die nicht
> > > kommutativ sind?
> >
> > Du mußt doch gar keine neue Matrix suchen.
> > Du sollst sagen, warum nicht [mm]\alpha=\alpha^2[/mm] sein
> kann.
> > Du kannst die Annahme, daß [mm]alpha=\alpha^2[/mm] ist, mit
> mienem
> > Hinweis zum Widerspruch führen.
> > Du mußt gründlicher überlegen und mehr probieren.
> Das
> > braucht Zeit.
> > Nachfragen im 5-Minuten-Takt sind die falsche
> Strategie,
> > wenn Du Mathematik lernen möchtest.
> >
> Ja stimmt.
>
> Ok,also ich muss zeigen,dass [mm]\alpha=\alpha^2[/mm] nicht sein
> kann.Wie du sagtest, ist [mm]\alpha \not=[/mm] 0,1 und [mm]\alpha[/mm] hat
> ein Inverses.
>
> Also das neutrale Element zu [mm]\alpha[/mm] ist doch die 1, denn
> [mm]\alpha*1=\alpha.[/mm]
> Und wenn [mm]\alpha=\alpha*\alpha=\alpha^2[/mm] ist,dann müsste
> das neutrale Element von [mm]\alpha[/mm] ja [mm]\alpha[/mm] selbst sein.
Hallo,
ein "neutrales Element von a" gibt es nicht.
das neutrale Element ist doch für den ganzen Körper.
Wenn ich Dich aber gutmütig interpretiere, denke ich, Du argumentierst mit der Eindeutigkeit des neutralen Elementes:
es ist a*1=a und es ist a*a=a ==> a=1.
Und ??? Siehst Du einen Widerspruch?
Wenn ja, dann brauchst Du nicht weiterzumachen.
> Und wenn ich jetzt das Inverse ausrechnen will,dann muss
> gelten [mm]\alpha*Inverses=\alpha[/mm] ,
Weil a das neutrale neutrale Element ist.
> dann hab ich für das
> Inverse auch [mm]\alpha[/mm] raus.
Weil das Inverse eindeutig ist und a*a=a.
> Und [mm]\alpha[/mm] kann ja nicht zu sich
> selbst invers und neutral sein oder?
Doch. Wenn a=1 ist. Siehst Du den Widerspruch?
Ich meinte es übrigens anders vorhin: wenn [mm] a\not=1, [/mm] dann hat a ein Inverses [mm] a^{-1}. [/mm] und nun lasse ich das auf a*a=a los: [mm] a^{-1}aa=a^{-1}a.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 So 07.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo,
>
> ein "neutrales Element von a" gibt es nicht.
> das neutrale Element ist doch für den ganzen Körper.
>
> Wenn ich Dich aber gutmütig interpretiere, denke ich, Du
> argumentierst mit der Eindeutigkeit des neutralen
> Elementes:
> es ist a*1=a und es ist a*a=a ==> a=1.
>
> Und ??? Siehst Du einen Widerspruch?
> Wenn ja, dann brauchst Du nicht weiterzumachen.
Der Widerspruch liegt doch darin,dass wir hier a=1 raushaben,aber gesagt hatten,dass wenn a ungleich 1 ,dann hat a ein Inverses.Somit kann a nicht =1 sein.Nur ist mir nicht klar,wieso a ausgerechnet dann ein Inverses hat,wenn es nicht =1 ist ?
>
> > Und wenn ich jetzt das Inverse ausrechnen will,dann muss
> > gelten [mm]\alpha*Inverses=\alpha[/mm] ,
>
> Weil a das neutrale neutrale Element ist.
>
> > dann hab ich für das
> > Inverse auch [mm]\alpha[/mm] raus.
>
> Weil das Inverse eindeutig ist und a*a=a.
>
> > Und [mm]\alpha[/mm] kann ja nicht zu sich
> > selbst invers und neutral sein oder?
>
> Doch. Wenn a=1 ist. Siehst Du den Widerspruch?
>
> Ich meinte es übrigens anders vorhin: wenn [mm]a\not=1,[/mm] dann
> hat a ein Inverses [mm]a^{-1}.[/mm] und nun lasse ich das auf a*a=a
> los: [mm]a^{-1}aa=a^{-1}a.[/mm]
Dann folgt hieraus auch a=1 und es ist ein Widerspruch.
>
> Gruß v. Angela
>
|
|
|
| |
|
> > es ist a*1=a und es ist a*a=a ==> a=1.
> >
> > Und ??? Siehst Du einen Widerspruch?
> > Wenn ja, dann brauchst Du nicht weiterzumachen.
>
> Der Widerspruch liegt doch darin,dass wir hier a=1
> raushaben,aber gesagt hatten,dass wenn a ungleich 1 ,dann
> hat a ein Inverses.
Hallo, nein, der Widerspruch liegt darin, daß wir gesagt hatten [mm] a\not=1, [/mm] und nun haben wir bekommen a=1.
> > Ich meinte es übrigens anders vorhin: wenn [mm]a\not=1,[/mm] dann
> > hat a ein Inverses [mm]a^{-1}.[/mm] und nun lasse ich das auf a*a=a
> > los: [mm]a^{-1}aa=a^{-1}a.[/mm]
>
> Dann folgt hieraus auch a=1 und es ist ein Widerspruch.
>
Genau.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
lg> Sei K ein Körper.Man beweise,dass die Matrizen [mm]\pmat{ a & b \\ 0 & d } \in R^{2x2},[/mm]
> a,d [mm]\not=0,[/mm] mit der Matrixmultiplikation eine Gruppe
> bilden.Man beweise,dass diese Gruppe genau dann abelsch
> ist,wenn K aus zwei Elementen (0 und 1) besteht.
> Hallo^^
>
> Den ersten Teil mit der Gruppe hab ich bewiesen. Wie hast du das eigentlich bewiesen?
Ich muss
> noch zeigen,dass diese Gruppe abelsch ist,wenn K aus 0 und
> 1 besteht.
> Ich verstehe aber nicht genau wie das gemeint ist,denn es
> gibt ja mehrere Möglichkeiten eine Matrix aus den
> Elementen 1 und 0 zu konstruieren, z.B.
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] oder [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }.Muss[/mm]
> ich dann alle Möglichkeiten durchgehen,also jede Matrix
> die 0 und 1 enthält mit jeder multiplizieren die 0 und 1
> enthält?
> Oder muss ich das nur für die Matrizen [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> und [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }machen,da[/mm] ja a,d [mm]\not=0[/mm]
> ist,also müssen a und d 1 sein und b kann einmal 0 und
> einmal 1 sein?
>
> lg
|
|
|
| |
|
>
> lg> Sei K ein Körper.Man beweise,dass die Matrizen [mm]\pmat{ a & b \\
0 & d } \in R^{2x2},[/mm]
> > a,d [mm]\not=0,[/mm] mit der Matrixmultiplikation eine Gruppe
> > bilden.Man beweise,dass diese Gruppe genau dann abelsch
> > ist,wenn K aus zwei Elementen (0 und 1) besteht.
> > Hallo^^
> >
> > Den ersten Teil mit der Gruppe hab ich bewiesen.
> Wie hast
> du das eigentlich bewiesen?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Formuliere doch mal das Problem, welches Du mit dieser Aufgabe hast, damit man Dir gezielt helfen kann.
Ich denke mal, daß Mandy die Gruppenaxiome nachgerechnet hat.
Gruß v. Angela
> Ich muss
> > noch zeigen,dass diese Gruppe abelsch ist,wenn K aus 0 und
> > 1 besteht.
> > Ich verstehe aber nicht genau wie das gemeint ist,denn
> es
> > gibt ja mehrere Möglichkeiten eine Matrix aus den
> > Elementen 1 und 0 zu konstruieren, z.B.
> > [mm]\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 }[/mm] oder [mm]\pmat{ 1 & 1 \\
0 & 1 }.Muss[/mm]
> > ich dann alle Möglichkeiten durchgehen,also jede Matrix
> > die 0 und 1 enthält mit jeder multiplizieren die 0 und 1
> > enthält?
> > Oder muss ich das nur für die Matrizen [mm]\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 }[/mm]
> > und [mm]\pmat{ 1 & 1 \\
0 & 1 }machen,da[/mm] ja a,d [mm]\not=0[/mm]
> > ist,also müssen a und d 1 sein und b kann einmal 0 und
> > einmal 1 sein?
> >
> > lg
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Sa 06.11.2010 | | Autor: | fuchrist |
| Aufgabe | | Ich muss noch zeigen,dass diese Gruppe abelsch ist,wenn K aus 0 und 1 besteht. |
Wir gehen davon aus, dass die Gruppe (G,*) ist, auf Matrixmultiplikation bastiert und [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 0 } [/mm] , [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } \in [/mm] G.
Wie kann die Gruppe dann abelsch sein, denn: [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 } [/mm] und laut Definition gilt: [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 } \not\in [/mm] G.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Sa 06.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich muss noch zeigen,dass diese Gruppe abelsch ist,wenn K
> aus 0 und 1 besteht.
> Wir gehen davon aus, dass die Gruppe (G,*) ist, auf
> Matrixmultiplikation bastiert und [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 0 }[/mm] ,
> [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } \in[/mm] G.
> Wie kann die Gruppe dann abelsch sein, denn: [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm]
> * [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }[/mm] und
> laut Definition gilt: [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 } \not\in[/mm] G.
In $K$ ist $2 = 0$ und somit liegt die Matrix ganz bestimmt in $G$.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 So 07.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Also ich will jetzt zeigen,dass die Gruppe genau dann abelsch ist,wenn sie aus den zwei Elementen 0 und 1 besteht.Das heißt,ich muss zeigen,dass die Gruppe [mm] G={\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 },\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }} [/mm] abelsch ist.
Dass es eine Gruppe ist,hab ich ja schon allgemein gezeigt,also muss ich noch die Kommutativität zeigen:
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }*\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }*\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }*\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }=\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Aber wieso ist in K 2=0 ?Wie kommt man drauf?
Hab ich damit gezeigt,dass die Gruppe genau dann abelsch ist,wenn sie aus den zwei Elementen 0 und 1 besteht?
Eigentlich hab ich nur gezeigt,dass sie abelsch ist,wenn sie aus den Elementen 0 und 1 besteht,aber das "genau dann" hab ich eigentlich nicht gezeigt oder?
lg
|
|
|
| |
|
> Also ich will jetzt zeigen,dass die Gruppe genau dann
> abelsch ist,wenn sie aus den zwei Elementen 0 und 1
> besteht.Das heißt,ich muss zeigen,dass die Gruppe
> [mm]G={\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 },\pmat{ 1 & 1 \\
0 & 1 }}[/mm] abelsch
> ist.
>
> Dass es eine Gruppe ist,hab ich ja schon allgemein
> gezeigt,also muss ich noch die Kommutativität zeigen:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 }*\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 }=\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 }*\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 }=\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 }[/mm]
>
[mm] >\green{ \pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 }*\pmat{ 1 & 1 \\
0 & 1 }=\pmat{ 1 & 1 \\
0 & 1 }*\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 }=\pmat{ 1 & 1 \\
0 & 1 }}
[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 \\
0 & 1 }*\pmat{ 1 & 1 \\
0 & 1 }=\pmat{ 1 & 1 \\
0 & 1 }*\pmat{ 1 & 1 \\
0 & 1 }=\pmat{ 1 & 2 \\
0 & 1 }[/mm]
Hallo,
für Kommutativität brauchst Du ja eigentlich nur das Grüne zu untersuchen - und das auch nicht wirklich.
Aber es schadet nicht, daß Du's jetzt so dastehen hast.
>
> Aber wieso ist in K 2=0 ?Wie kommt man drauf?
Nun, in dem Körper sind ja genau zwei Elemente, nämlich die Null und die Eins. Überlege Dir nun, warum 1+1 nicht =1 sein kann.
>
>
> Hab ich damit gezeigt,dass die Gruppe genau dann abelsch
> ist,wenn sie aus den zwei Elementen 0 und 1 besteht?
> Eigentlich hab ich nur gezeigt,dass sie abelsch ist,wenn
> sie aus den Elementen 0 und 1 besteht,aber das "genau dann"
> hab ich eigentlich nicht gezeigt oder?
Genau.
Gruß v. Angela
>
> lg
|
|
|
|
