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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - abelsche Gruppen
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abelsche Gruppen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:00 Do 23.06.2011
Autor: chesn

Aufgabe
Bestimme (bis auf Isomorphie) alle abelschen Gruppen mit 108 Elementen.

Hallo! Ich habe den Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen benutzt:

Es gilt: [mm] 108=2^{2}*3^{3} [/mm]

Die Gruppen der Ordnung 4 sind [mm] \IZ/4\IZ [/mm] und [mm] \IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ [/mm]

Gruppen der Ordnung 27: [mm] \IZ/27\IZ [/mm] , [mm] \IZ/3\IZ \times \IZ/9\IZ [/mm] und [mm] \IZ/3\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/3\IZ [/mm]

Die gesuchten abelschen Gruppen ergeben sich jetzt aus Kombination dieser Gruppen, also gibt es die 6 folgenden abelschen Gruppen mit 108 Elementen:

[mm] \IZ/4\IZ \times \IZ/27\IZ [/mm]
[mm] \IZ/4\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/9\IZ [/mm]
[mm] \IZ/4\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/3\IZ [/mm]
[mm] \IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ \times \IZ/27\IZ [/mm]
[mm] \IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/9\IZ [/mm]
[mm] \IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/3\IZ [/mm]

Ist das so richtig oder habe ich noch was vergessen / übersehen??

Vielen Dank!! :)
        
Bezug
abelsche Gruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:04 Do 23.06.2011
Autor: felixf

Moin!

> Bestimme (bis auf Isomorphie) alle abelschen Gruppen mit
> 108 Elementen.
>  Hallo! Ich habe den Hauptsatz über endlich erzeugte
> abelsche Gruppen benutzt:
>  
> Es gilt: [mm]108=2^{2}*3^{3}[/mm]
>  
> Die Gruppen der Ordnung 4 sind [mm]\IZ/4\IZ[/mm] und [mm]\IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ[/mm]
>  
> Gruppen der Ordnung 27: [mm]\IZ/27\IZ[/mm] , [mm]\IZ/3\IZ \times \IZ/9\IZ[/mm]
> und [mm]\IZ/3\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/3\IZ[/mm]
>  
> Die gesuchten abelschen Gruppen ergeben sich jetzt aus
> Kombination dieser Gruppen, also gibt es die 6 folgenden
> abelschen Gruppen mit 108 Elementen:
>  
> [mm]\IZ/4\IZ \times \IZ/27\IZ[/mm]
>  [mm]\IZ/4\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/9\IZ[/mm]
>  
> [mm]\IZ/4\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/3\IZ[/mm]
>  
> [mm]\IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ \times \IZ/27\IZ[/mm]
>  [mm]\IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/9\IZ[/mm]
>  
> [mm]\IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/3\IZ[/mm]
>  
> Ist das so richtig oder habe ich noch was vergessen /
> übersehen??

Ja, das stimmt so.

Die Anzahlen kannst du auch leicht so kontrollieren: es gibt $p(n)$ abelsche Gruppen der Ordnung [mm] $q^n$ [/mm] (wenn $q$ eine Primzahl ist), wobei $p$ die Partitionsfunktion ist; Funktionswerte kannst du etwa []hier nachschauen.

Hier ist die Gruppenordnung [mm] $q_1^2 [/mm] + [mm] q_2^3$ [/mm] mit [mm] $q_1 [/mm] = 2, [mm] q_2 [/mm] = 3$, womit die Anzahl der Gruppen $p(2) [mm] \cdot [/mm] p(3)$ ist (die Exponenten, nicht die Primzahlen, auch wenn das hier das gleiche ist :) ). Da $p(2) = 2$ und $p(3) = 3$ ist, gibt es 6 Gruppen.

Du siehst also dass du schonmal die richtige Anzahl hast ;-)

LG Felix

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