abg. Kugel=abgeschl. Menge < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 So 11.12.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hi!
Ich versuche grad zu zeigen, dass in einem metrischen Raum jede abgeschlossene Kugel eine abgeschlossene Menge ist. |
Ist dieser Beweis richtig:
Also der metrische Raum sei $(X,d)$.
Und dann nenne icherstmal die abgeschlossene Kugel
[mm] $K(x,r):=\left\{y\in (X,d): d(x,y)\leq r\right\}, x\in [/mm] X, [mm] 0
$K$ ist doch abgeschlossen, falls:
Für alle [mm] $a\in X\setminus [/mm] K$ gibt es ein [mm] $\epsilon>0$, [/mm] sodass [mm] $K\cap B(a,\epsilon)=\emptyset$, [/mm] wobei ich mit [mm] $B(a,\epsilon)$ [/mm] die Epsilon-Kugel um $a$ meine.
Und naja, solch ein Epsilon gibt es für jedes solche $a$ hier, denn wähle einfach [mm] $\epsilon:d(a,x)-r$, [/mm] dann tut es das.
ENDE
Ist das okay?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:39 Mo 12.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hi!
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> Ich versuche grad zu zeigen, dass in einem metrischen Raum
> jede abgeschlossene Kugel eine abgeschlossene Menge ist.
> Ist dieser Beweis richtig:
>
> Also der metrische Raum sei [mm](X,d)[/mm].
> Und dann nenne icherstmal die abgeschlossene Kugel
>
> [mm]K(x,r):=\left\{y\in (X,d): d(x,y)\leq r\right\}, x\in X, 0
>
>
> [mm]K[/mm] ist doch abgeschlossen, falls:
>
> Für alle [mm]a\in X\setminus K[/mm] gibt es ein [mm]\epsilon>0[/mm], sodass
> [mm]K\cap B(a,\epsilon)=\emptyset[/mm], wobei ich mit [mm]B(a,\epsilon)[/mm]
> die Epsilon-Kugel um [mm]a[/mm] meine.
>
>
> Und naja, solch ein Epsilon gibt es für jedes solche [mm]a[/mm]
> hier, denn wähle einfach [mm]\epsilon:d(a,x)-r[/mm], dann tut es
> das.
Ja, das stimmt. Aber warum ?
FRED
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>
> ENDE
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>
>
> Ist das okay?
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