abgeänderter Satz von Wilson < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 So 15.01.2017 | | Autor: | wauwau |
| Aufgabe | $p$ ist genau dann eine ungerade Primzahl, wenn
[mm] $\frac{(p-1)!}{p-2}\equiv 2^{p-2}(p)$ [/mm] ist |
Wenn obiges gilt dann
[mm] $(p-1)!\equiv 2^{p-2}(p-2) \equiv -2^{p-1} \equiv [/mm] -1(p)$ wobei die letzte Beziehung wegen Euler-Fermat gilt.
Damit gilt also Wilson und daher ist p eine Primzahl
Nur wie beweist man, dass wenn $p$ Primzahl ist, dass obiges gilt?
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> [mm]p[/mm] ist genau dann eine ungerade Primzahl, wenn
> [mm]\frac{(p-1)!}{p-2}\equiv 2^{p-2}(p)[/mm] ist
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> Wenn obiges gilt dann
> [mm](p-1)!\equiv 2^{p-2}(p-2) \equiv -2^{p-1} \equiv -1(p)[/mm]
> wobei die letzte Beziehung wegen Euler-Fermat gilt.
> Damit gilt also Wilson und daher ist p eine Primzahl
>
> Nur wie beweist man, dass wenn [mm]p[/mm] Primzahl ist, dass obiges
> gilt?
Hallo,
der Satz von Wilson besagt doch, dass p prim äquivalent ist zu [mm](p-1)!\equiv -1(p)[/mm]. Somit gilt
[mm](p-1)!\equiv -1(p)\Rightarrow (p-1)!\equiv 2^{p-2}(p-2)(p)\Rightarrow\frac{(p-1)!}{p-2}\equiv 2^{p-2}(p)[/mm].
Die letzte Implikation gilt, da p-2 in multiplikatives Inverses modulo p hat und somit Kürzen zulässig ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 So 15.01.2017 | | Autor: | wauwau |
und woher nimmst du die erste Implikation
Warum nimmst du da nicht
[mm] $(p-1)!\equiv [/mm] -1(p) [mm] \Rightarrow (p-1)!\equiv 2^{3p-4}(p-2)(p)$
[/mm]
oder ist das egal??
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> und woher nimmst du die erste Implikation
> Warum nimmst du da nicht
> [mm](p-1)!\equiv -1(p) \Rightarrow (p-1)!\equiv 2^{3p-4}(p-2)(p)[/mm]
>
> oder ist das egal??
Hallo,
die erste Implikation ist einfach deine Gleichungskette [mm]2^{p-2}(p-2) \equiv -2^{p-1} \equiv -1(p)[/mm] von rechts nach links gelesen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 So 15.01.2017 | | Autor: | wauwau |
D.h. nach dem gleichen Prinzip von dir gilt auch
$p$ ist Primzahl genau dann, wenn
[mm] $\frac{(p-1)!}{(p-2^k)}\equiv 2^{p-k-1}(p)$ [/mm] ist
sofern [mm] $2^k [/mm] < p$ gilt
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> D.h. nach dem gleichen Prinzip von dir gilt auch
>
> [mm]p[/mm] ist Primzahl genau dann, wenn
>
> [mm]\frac{(p-1)!}{(p-2^k)}\equiv 2^{p-k-1}(p)[/mm] ist
>
> sofern [mm]2^k < p[/mm] gilt
Hallo,
das müsste hinkommen, auch wenn 2 durch eine beliebige natürliche Zahl a<p ersetzt wird.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 So 15.01.2017 | | Autor: | wauwau |
sei [mm] $a^k
dann ist $p$ genau dann Primzahl, wenn
[mm] $\frac{(p-1)!}{(p-a^k)}\equiv a^{p-k-1}(p)$ [/mm] ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:55 So 15.01.2017 | | Autor: | donquijote |
> sei [mm]a^k
> dann ist [mm]p[/mm] genau dann Primzahl, wenn
> [mm]\frac{(p-1)!}{(p-a^k)}\equiv a^{p-k-1}(p)[/mm] ist.
Ja, aber das hat sich bestimmt schonmal jemand überlegt. Für allgemeines a müsste man für "[mm]\Leftarrow[/mm]" allerdings noch voraussetzen, dass ggT(a,p)=1 ist (ist mir eben noch aufgefallen).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:10 So 15.01.2017 | | Autor: | donquijote |
> sei [mm]a^k
> dann ist [mm]p[/mm] genau dann Primzahl, wenn
> [mm]\frac{(p-1)!}{(p-a^k)}\equiv a^{p-k-1}(p)[/mm] ist.
So sollte es passen:
Sei [mm]a,k,p\in\mathbb{N}[/mm] mit [mm]a^k
Dann gilt p prim [mm]\Leftrightarrow\frac{(p-1)!}{p-a^k}\equiv a^{p-k-1}(p)[/mm].
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> [mm]p[/mm] ist genau dann eine ungerade Primzahl, wenn
> [mm]\frac{(p-1)!}{p-2}\equiv 2^{p-2}(p)[/mm] ist
>
> Wenn obiges gilt dann
> [mm](p-1)!\equiv 2^{p-2}(p-2) \equiv -2^{p-1} \equiv -1(p)[/mm]
> wobei die letzte Beziehung wegen Euler-Fermat gilt.
> Damit gilt also Wilson und daher ist p eine Primzahl
>
> Nur wie beweist man, dass wenn [mm]p[/mm] Primzahl ist, dass obiges
> gilt?
Hallo nochmal,
dein Argument stimmt nicht (das taugt eigentlich nur für die andere Richtung p prim [mm]\Rightarrow ...[/mm]). Bei deiner Anwendung von Euler-Fermat setzt du ja schon voraus, dass p prim ist.
Man kann die Sache die Sache aber retten, indem man argumentiert, dass aus [mm](p-1)!\equiv -2^{p-1}(p)[/mm] und p ungerade folgt, dass (p-1)! und p teilerfremd sind, was nur für Primzahlen zutrifft.
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