ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Fr 25.04.2014 | | Autor: | needmath |
| Aufgabe | a) f(x) = [mm] \bruch{1}{tanx}
[/mm]
b) f(x) = [mm] ln\wurzel{1+sin^2 x}
[/mm]
c) f(x) = [mm] \wurzel{\bruch{x-1}{x+1}}
[/mm]
d) f(x) = [mm] (x^x)^x [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
a )
f(x) = [mm] \bruch{1}{tanx} [/mm] = [mm] \bruch{cos x}{sin x} [/mm] = cos x * (sinx)^(-1)
ich wollte jetzt hier mit der produktregel ableiten, aber wie leite ich (sinx)^(-1) ab ?
und ein tipp zu b) brauche ich auch
danke im voraus
|
|
| |
|
Hallo
a) es gibt mehrere Möglichkeiten,
[mm] f(x)=(tan(x))^{-1} [/mm] benutze die Kettenregel
[mm] f(x)=\bruch{1}{tan(x)}=\bruch{cos(x)}{sin(x)} [/mm] benutze Quotientenregel
[mm] f(x)=\bruch{1}{tan(x)}=\bruch{cos(x)}{sin(x)}=cos(x)*(sin(x))^{-1} [/mm] wenn du nach Produktregel ableiten möchtest, so benutze für die Ableitung von [mm] (sin(x))^{-1} [/mm] wieder die Kettenregel
b) benutze die Kettenregel
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Fr 25.04.2014 | | Autor: | needmath |
hi,
ich habe es mit der ketten und quotientenregel gemacht:
a) f´(x) = [mm] \bruch{-1}{tan(x)^2}* \bruch{cos(x)^2 + sin(x)^2}{cos(x)^2}
[/mm]
kann das jemand überprüfen?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> hi,
>
> ich habe es mit der ketten und quotientenregel gemacht:
>
> a) f´(x) = [mm]\bruch{-1}{tan(x)^2}* \bruch{cos(x)^2 + sin(x)^2}{cos(x)^2}[/mm]
>
> kann das jemand überprüfen?
Stimmt, ist aber reichlich kompliziert dargestellt und ausgerechnet.
Wozu Ketten- und Quotientenregel?
Es genügt doch vollkommen die Quotientenregel.
Vereinfache deinen Term noch weitestmöglich.
Denke an der trigonometrischen Pythagoras und die Umschreibung für [mm] $\tan(x)$ [/mm] ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Fr 25.04.2014 | | Autor: | needmath |
danke,
ich finde es besser wenn man eine aufgabe mit der schwereren methode löst. das hilft beim üben.
ich habe noch eine allgemeine frage zur kettenregel. dazu ein beispiel:
f(x) = [mm] (2x+1)^3
[/mm]
f´(x) = [mm] 3*(2x+1)^2*2 [/mm] = [mm] 6(2x+1)^2
[/mm]
für die ableitung habe ich den exponenten mit der basis multipliziert und die basis abgeleitet und mit sich wieder multipliziert
bei einer e funktion z.b.
f(x) = e^(2x)
f'(x) = 2e^(2x)
eine e funktion wird mit der kettenregel anders abgeleitet. gilt diese ausnahme nur bei der e-funktion?
kann mir einer erklären wieso die e funktion anders abgeleitet wird?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> danke,
>
> ich finde es besser wenn man eine aufgabe mit der
> schwereren methode löst. das hilft beim üben.
Ok, ist ja letztlich egal, Hauptsache, es stimmt am Ende.
Hast du es noch vereinfacht?
>
> ich habe noch eine allgemeine frage zur kettenregel. dazu
> ein beispiel:
>
> f(x) = [mm](2x+1)^3[/mm]
>
> f´(x) = [mm]3*(2x+1)^2*2[/mm] = [mm]6(2x+1)^2[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> für die ableitung habe ich den exponenten mit der basis
> multipliziert und die basis abgeleitet und mit sich wieder
> multipliziert
>
> bei einer e funktion z.b.
>
> f(x) = e^(2x)
>
> f'(x) = 2e^(2x)
>
> eine e funktion wird mit der kettenregel anders abgeleitet.
Nein, es ist dieselbe Regel: äußere Ableitung "mal" innere Ableitung
Oben ist die äußere Funktion [mm]z^3[/mm], das gibt [mm]3z^2[/mm], die innere [mm]2x+1[/mm], das gibt 2 ...
Unten ist die äußere Funktion [mm]e^z[/mm], die innere [mm]2x[/mm]
> gilt diese ausnahme nur bei der e-funktion?
>
> kann mir einer erklären wieso die e funktion anders
> abgeleitet wird?
Das ist die normale Kettenregel:
[mm]f(x)=e^{g(x)}[/mm] mit [mm]g(x)[/mm] diffbar, so ist [mm]f'(x)=e^{g(x)}\cdot{}g'(x)[/mm] - äußere Ableitung "mal" innere Ableitung ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Fr 25.04.2014 | | Autor: | needmath |
f´(x) = [mm] \bruch{-1}{tan(x)^2}* \bruch{cos(x)^2 + sin(x)^2}{cos(x)^2}
[/mm]
= [mm] \bruch{-1}{tan(x)^2} [/mm] * ( [mm] \bruch{cos(x)^2}{cos(x)^2}+ \bruch{ sin(x)^2}{cos(x)^2})
[/mm]
= [mm] \bruch{-1}{tan(x)^2} [/mm] * (1 + [mm] tan(x)^2)
[/mm]
= -1 + 1 = 0
ist das ok so?
nochmal zur kettenregel:
bei der funktion f(x) = [mm] (2x+1)^3
[/mm]
ist [mm] (2x+1)^3 [/mm] die äußere funktion und die basis die innere funktion
bei f(x) = e^(2x)
ist e^(2x) die äußere funktion, aber der exponent ist die innere funktion
also der unterschied ist, dass bei e funktionen die innere funktion der exponent ist und bei "nicht- e funktionen" ist die basis die innere funktion
|
|
|
| |
|
Hallo,
> f´(x) = [mm]\bruch{-1}{tan(x)^2}* \bruch{cos(x)^2 + sin(x)^2}{cos(x)^2}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{-1}{tan(x)^2}[/mm] * ( [mm]\bruch{cos(x)^2}{cos(x)^2}+ \bruch{ sin(x)^2}{cos(x)^2})[/mm]
>
> = [mm]\bruch{-1}{tan(x)^2}[/mm] * (1 + [mm]tan(x)^2)[/mm]
>
> = -1 + 1 = 0
>
> ist das ok so?
Nein. Die ersten drei Zeilen sind noch richtig, aber der Schluss ist Humbug! Es ist
[mm] -\frac{1}{tan(x)^2}*(1+tan(x)^2=-\frac{1}{tan(x)^2}+1=1-\frac{1}{tan(x)^2}
[/mm]
wobei der letzte Schritt allein meinem ästhetischen Empfinden geschuldet ist. 
Alternativ kann man
[mm] sin(x)^2+cos(x)^2=1
[/mm]
nutzen und direkt nach Zeile 1) entsprechend anders verfahren. Man bekommt dann halt, wie so oft bei trigonometrischen Funktionen, eine andere Darstellung ein und derselben Sache.
>
> nochmal zur kettenregel:
>
> bei der funktion f(x) = [mm](2x+1)^3[/mm]
>
> ist [mm](2x+1)^3[/mm] die äußere funktion und die basis die innere
> funktion
>
> bei f(x) = e^(2x)
>
> ist e^(2x) die äußere funktion, aber der exponent ist die
> innere funktion
Ich denke, du meinst hier das richtige, es ist aber ziemlich unscharf bis missverständlich formuliert. Besser:
mit
[mm] u=v^3 [/mm] ; v=2x+1
ist u die äußere und v die innere Funktion.
> also der unterschied ist, dass bei e funktionen die innere
> funktion der exponent ist und bei "nicht- e funktionen" ist
> die basis die innere funktion
Das ist so eine selbsterdachte Merkregel, mit der du gewaltig auf die Schnauze fliegen kannst. Versuche einfach mal, das Prinzip 'Verkettung' als Hintereinanderausführung von Abbildungen/Funktionen besser zu verstehen. Bei der e-Funktion hilft die 'amerikanische' Schreibweise zum besseren Verständnis. Man schreibt dort
[mm] exp(x):=e^x
[/mm]
und so wird meinen Schülerinnen und Schülern der Sachverhalt oft schnell klarer.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Sa 26.04.2014 | | Autor: | needmath |
hallo,
> [mm]f(x) \ = \ \ln\wurzel{1+\sin^2(x)} \ = \ \ln\left[ \ \left(1+\sin^2(x)\right)^{\bruch{1}{2}} \ \right] \ = \ \bruch{1}{2}*\ln\left[ \ 1+\sin^2(x) \ \right][/mm]
hier muss ich die quotientenregel anwenden oder?
f(x) = [mm] \bruch{1}{2}*\ln\left[ \ 1+\sin^2(x) \ \right]
[/mm]
f´(x) = [mm] \bruch{u´ *v - u*v´}{v^2}
[/mm]
u = [mm] \ln\left[ \ 1+\sin^2(x) \ \right]
[/mm]
u´ = [mm] \bruch{1}{2cosx}
[/mm]
v = 2
v´ = 0
f´(x) = [mm] \bruch{\bruch{1}{2cosx} *2}{4} [/mm] = [mm] \bruch{4}{cosx}
[/mm]
kann das jemand korregieren bitte?
|
|
|
| |
|
Hallo, wo siehst du einen Quotienten, ich sehe keinen, du benötigst die Kettenregel, schlage zunächst nach, was die Ableitung von ln(x) ist, dann die innere Ableitung bilden, also die Ableitung von [mm] 1+sin^{2}(x) [/mm] Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:19 Sa 26.04.2014 | | Autor: | needmath |
der quotient ist [mm] \bruch{\ln\left[ \ 1+\sin^2(x) \ \right]}{2}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:26 Sa 26.04.2014 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, deine Ableitung ist und bleibt falsch, Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Sa 26.04.2014 | | Autor: | needmath |
hallo,
kettenregel:
f(x) = [mm] \bruch{1}{2}*\ln\left[ \ 1+\sin^2(x) \ \right]
[/mm]
f´(x) = [mm] \bruch{1}{2}* \bruch{1}{ 1+\sin^2(x)} [/mm] * [mm] cos(x)^2
[/mm]
ist das so besser?
|
|
|
| |
|
Hallo
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{1+sin^{2}(x)}* [/mm] ........
ist bis hier korrekt, jetzt benötigst du noch die Ableitung von [mm] 1+sin^{2}(x)
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:35 Sa 26.04.2014 | | Autor: | needmath |
ok ich habs jetzt
f´(x) = [mm] \bruch{1}{2}* \bruch{1}{ 1+\sin^2(x)} [/mm] * 2sin(x) *cos(x)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Sa 26.04.2014 | | Autor: | needmath |
c) f(x) = [mm]\wurzel{\bruch{x-1}{x+1}}[/mm] = [mm] (\bruch{x-1}{x+1})^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
f´(x) = [mm] \bruch{1}{2}*(\bruch{x-1}{x+1})^{-\bruch{1}{2}} [/mm] * [mm] \bruch{2}{x^2+2x+1}
[/mm]
ich bitte um korrektur
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Sa 26.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo richtig, aber wenn du im Nenner [mm] (x+1)^2 [/mm] stehe lässt und statt
[mm] \bruch{1}{2}\cdot{}(\bruch{x-1}{x+1})^{-\bruch{1}{2}}= \bruch{1}{2}\cdot{}(\bruch{x+1}{x-1})^{\bruch{1}{2}} [/mm] schreibst kannst du noch kürzen.
warum? später, wenn du noch 2 te Ableitungen brauchst lohnt es sich immer die erste Ableitung möglichst einfach zu schreiben.
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Sa 26.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo needmath und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
Vielleicht noch ein Tipp zur letzten Teilaufgabe.
Es gilt:
[mm] x^x=e^{\ln(x^x)}=e^{x*\ln(x)}.
[/mm]
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 So 27.04.2014 | | Autor: | needmath |
hallo,
f(x) = [mm] (x^x)^x [/mm] = [mm] x^{x^2} [/mm] = [mm] e^{x^2lnx}
[/mm]
f´(x) = [mm] e^{x^2 lnx} [/mm] * 2x * [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
ich bitte um korrektur
|
|
|
|
Logarithmusgesetze![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
