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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 Mi 13.06.2007 | | Autor: | engel |
ja, wir haben das in klasse 10 schon...
was ist die erste ableitung der betragsfunktion?
lim
x->0+
= 1
lim
x->0-
= -1
aber warum ist das dann die signumfunktion? weil dann müsste ja noch 0 rauskommen für x=0 ist Y=0 bei der betragsfunktion..
und was ist die erste ableitung der signumfunktion?
sie soll 0 sein, habe aber keine ahnung wie ich da snachweisen kann. danke!
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Hallo,
Du suchst die Ableitung der Betragsfunktion.
Über Ableitung zu sprechen ist überhaupt nur sinnvoll an solchen Stellen an denen die Funktion definiert und stetig ist.
Das ist bei der Betragsfunktion der Fall.
Die Ableitung an einer Stelle a ist die Steigung, die die Tangente an den Graphen dort hat.
Man sieht ja unmittelbar, daß die Steigung für x>0 gleich 1 ist, für x<0 gleich -1.
Fraglich bleibt die Steigung an der Stelle 0. Dort gibt es diese Tangente nicht. (Versuch, an der Spitze ein Lineal anzulegen: es wackelt.)
Dies kannst Du rechnerisch durch Betrachten des Grenzwertes an der Stelle 0 von rechts und von links zeigen.
Genau das hast Du getan:
>
> lim|x|
> x->0+
>
> = 1
>
> lim|x|
> x->0-
>
> = -1
Also gibt es an der Stelle keine Ableitung, denn sonst wären beide Grenzwerte gleich.
>
> aber warum ist das dann die signumfunktion? weil dann
> müsste ja noch 0 rauskommen für x=0 ist Y=0 bei der
> betragsfunktion..
Da hast Du recht.
Man muß die Sache also anders formulieren:
An den Stellen, an welchen man die Betragsfunktion ableiten kann, ist die Ableitung gleich der Signumfunktion.
>
> und was ist die erste ableitung der signumfunktion?
>
> sie soll 0 sein, habe aber keine ahnung wie ich da
> snachweisen kann. danke!
Zunächst einmal betrachte den positiven Teil der Signumfunktion.
Welche Steigung hat sie dort?
Und im negativen Teil?
Jetzt schau die Stelle x=0 an.
Ist die Signumfunktion dort stetig?
Also?
Gruß v. Angela
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