ableitung arctan-formel < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 So 13.01.2008 | | Autor: | bonczi |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass für alle x > -1 die Gleichung
arctan (x) + arctan ( [mm] \bruch{1-x}{1+x} [/mm] ) = [mm] \bruch{\pi}{4}
[/mm]
gilt. |
ich will das jetzt so beweisen:
a) da [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] ja eine konstante ist, sollte ja eigentlich die ableitung dieser arctan-formel 0 ergeben
b) und im 2. schritt wollte ich dann irgendein x wählen und ausrechnen
(einen ähnlichen beweis hat meine übungsleiterin gemacht zur vorbereitung auf die hausaufgaben)
mein problem ist jetzt aber, dass ich bei a) nicht 0 rausbekomme. sondern : [mm] \bruch{-1}{1+x²}
[/mm]
wäre toll, wenn jemand meinen fehler findet...
zu a) f(x) = arctan (x) + arctan ( [mm] \bruch{1-x}{1+x} [/mm] )
f' (x) = [mm] \bruch{1}{1+x²} [/mm] + [mm] \bruch{1}{1+(\bruch{1-x}{1+x})²} [/mm] * [mm] \bruch{-1(1+x)-(1-x)1}{(1+x)²}
[/mm]
Nebenrechnung: [mm] \bruch{1}{1+(\bruch{1-x}{1+x})²} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{(1+x)²+(1-x)²}{(1+x)²}}
[/mm]
f' (x) = [mm] \bruch{1}{1+x²} [/mm] + [mm] \bruch{(1+x)²}{(1+x)²+(1-x)²} [/mm] * [mm] \bruch{-2}{(1+x)²}
[/mm]
f' (x) = [mm] \bruch{1}{1+x²} [/mm] - 2 [mm] \bruch{1}{1+x²}
[/mm]
= - [mm] \bruch{1}{1+x²}
[/mm]
so wie man sehen kann, ist nicht 0 rausgekommen... weiß jemand, wo mein fehler liegt?
b) f(0) = [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm]
f(4) = [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm]
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> Beweisen Sie, dass für alle x > -1 die Gleichung
> arctan (x) + arctan ( [mm]\bruch{1-x}{1+x}[/mm] ) = [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm]
> gilt.
> ich will das jetzt so beweisen:
>
> a) da [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] ja eine konstante ist, sollte ja
> eigentlich die ableitung dieser arctan-formel 0 ergeben
>
> b) und im 2. schritt wollte ich dann irgendein x wählen und
> ausrechnen
>
> (einen ähnlichen beweis hat meine übungsleiterin gemacht
> zur vorbereitung auf die hausaufgaben)
>
>
> mein problem ist jetzt aber, dass ich bei a) nicht 0
> rausbekomme. sondern : [mm]\bruch{-1}{1+x²}[/mm]
>
> wäre toll, wenn jemand meinen fehler findet...
>
> zu a) $f(x) = [mm] \arctan [/mm] (x) + [mm] \arctan [/mm] ( [mm] \bruch{1-x}{1+x})$
[/mm]
>
> $f' (x) = [mm] \bruch{1}{1+x²}+ \bruch{1}{1+(\bruch{1-x}{1+x})^2}\cdot \bruch{-1(1+x)-(1-x)1}{(1+x)-2}$
[/mm]
>
> Nebenrechnung: [mm] $\bruch{1}{1+(\bruch{1-x}{1+x})^2}= \bruch{1}{\bruch{(1+x)^2+(1-x)^2}{(1+x)^2}}$
[/mm]
>
> $f' (x) = [mm] \bruch{1}{1+x^2} \blue{+ \bruch{(1+x)^2}{(1+x)^2+(1-x)^2}\cdot \bruch{-2}{(1+x)^2}}$
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> $f' (x) = [mm] \bruch{1}{1+x²} \red{- 2 \bruch{1}{1+x^2}}$
[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Na, was ist denn [mm] $(1+x)^2+(1-x)^2$ [/mm] genau? - Ich denke es ist [mm] $(1+x)^2+(1-x)^2=2+2x^2=2(1+x^2)$. [/mm] Damit löst sich Dein Problem.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:40 So 13.01.2008 | | Autor: | bonczi |
jo und dann lässt sich die 2 rauskürzen und man bekommt 0 raus! *juhu* danke für deine hilfe ;) !!!
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