absolut stetig < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Seien (X, [mm] \mathcal{A}) [/mm] ein Messraum und [mm] \mu,\nu,\lambda [/mm] Maße auf [mm] \mathcal{A}. [/mm] Zeige:
a) [mm] \nu \ll \mu, \nu \perp \mu \Rightarrow \nu=0
[/mm]
b) [mm] \lambda \ll \nu, \nu \ll \mu \Rightarrow \lambda \ll \mu [/mm] |
Hallo zusammen,
zu a) da [mm] \nu \ll \mu [/mm] gilt heiß das dass [mm] \mu(A)=0 \Rightarrow \nu(A)=0 [/mm] für A [mm] \in \mathcal{A}, [/mm] d.h jede [mm] \mu-Nullmenge [/mm] ist auch eine [mm] \nu-Nullmenge [/mm]
zudem kommt [mm] \nu \perp \mu [/mm] d.h. es gibt eine disjunkte Zerlegung von X=A [mm] \cup [/mm] B in messbaren Mengen sodass [mm] \mu(B)=0 [/mm] und [mm] \nu(A)=0
[/mm]
folgt nicht dann dass [mm] \nu=0 [/mm] ist?
zub) ist es nicht wie bei einer hinetreinanderausführung?
bin für jeden Tipp dankbar.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:27 Sa 29.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo
> Seien (X, [mm]\mathcal{A})[/mm] ein Messraum und [mm]\mu,\nu,\lambda[/mm]
> Maße auf [mm]\mathcal{A}.[/mm] Zeige:
>
> a) [mm]\nu \ll \mu, \nu \perp \mu \Rightarrow \nu=0[/mm]
>
> b) [mm]\lambda \ll \nu, \nu \ll \mu \Rightarrow \lambda \ll \mu[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> zu a) da [mm]\nu \ll \mu[/mm] gilt heiß das dass [mm]\mu(A)=0 \Rightarrow \nu(A)=0[/mm]
> für A [mm]\in \mathcal{A},[/mm] d.h jede [mm]\mu-Nullmenge[/mm] ist auch
> eine [mm]\nu-Nullmenge[/mm]
>
> zudem kommt [mm]\nu \perp \mu[/mm] d.h. es gibt eine disjunkte
> Zerlegung von X=A [mm]\cup[/mm] B in messbaren Mengen sodass
> [mm]\mu(B)=0[/mm] und [mm]\nu(A)=0[/mm]
>
> folgt nicht dann dass [mm]\nu=0[/mm] ist?
Ja, es folgt [mm] $\nu(X)=0$, [/mm] also [mm] $\nu=0$
[/mm]
>
> zub) ist es nicht wie bei einer hinetreinanderausführung?
Aehnlich, ja.
>
> bin für jeden Tipp dankbar.
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:51 Sa 29.11.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo questionpeter!
> Seien (X, [mm]\mathcal{A})[/mm] ein Messraum und [mm]\mu,\nu,\lambda[/mm]
> Maße auf [mm]\mathcal{A}.[/mm] Zeige:
>
> a) [mm]\nu \ll \mu, \nu \perp \mu \Rightarrow \nu=0[/mm]
>
> b) [mm]\lambda \ll \nu, \nu \ll \mu \Rightarrow \lambda \ll \mu[/mm]
> zu a) da [mm]\nu \ll \mu[/mm] gilt heiß das dass [mm]\mu(A)=0 \Rightarrow \nu(A)=0[/mm]
> für A [mm]\in \mathcal{A},[/mm] d.h jede [mm]\mu-Nullmenge[/mm] ist auch
> eine [mm]\nu-Nullmenge[/mm]
>
> zudem kommt [mm]\nu \perp \mu[/mm] d.h. es gibt eine disjunkte
> Zerlegung von X=A [mm]\cup[/mm] B in messbaren Mengen sodass
> [mm]\mu(B)=0[/mm] und [mm]\nu(A)=0[/mm]
>
> folgt nicht dann dass [mm]\nu=0[/mm] ist?
Genau das ist zu zeigen!
Warum gilt [mm] $\nu(C)=0$ [/mm] für alle [mm] $C\in\mathcal{A}$?
[/mm]
Wie andyv schon schrieb: Es genügt dafür [mm] $\nu(X)=0$ [/mm] zu zeigen, denn dann folgt [mm] $0\le\nu(C)\le\nu(X)=0$ [/mm] für alle [mm] $C\in\mathcal{A}$.
[/mm]
Zeige nun [mm] $\nu(X)=0$!
[/mm]
Seien [mm] $A,B\in\mathcal{A}$ [/mm] obige disjunkte Mengen mit [mm] $\mu(B)=0$ [/mm] und [mm] $\nu(A)=0$.
[/mm]
Was weißt du über [mm] $\nu(B)$?
[/mm]
Wie hängt [mm] $\nu(X)$ [/mm] mit [mm] $\nu(A)$ [/mm] und [mm] $\nu(B)$ [/mm] zusammen?
> zub) ist es nicht wie bei einer hinetreinanderausführung?
(Was meinst du damit?)
> bin für jeden Tipp dankbar.
Mache dir zunächst wieder die Definition der drei [mm] $\ll$-Aussagen [/mm] klar.
Die zu Zeigende lautet z.B.:
Für alle [mm] $A\in\mathcal{A}$ [/mm] mit [mm] $\mu(A)=0$ [/mm] gilt auch [mm] $\lambda(A)=0$.
[/mm]
Sei also [mm] $A\in\mathcal{A}$ [/mm] mit [mm] $\mu(A)=0$.
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] $\lambda(A)=0$.
[/mm]
Wende dazu [mm] $\nu\ll\mu$ [/mm] und [mm] $\lambda\ll\nu$ [/mm] auf $A$ an!
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
zu a) d.h. da mit [mm] \nu \\ll \mu ,\mu(A)=0 [/mm] auch [mm] \nu [/mm] (A)=0 folgt und da es eine disjunkte mengen gibt mit [mm] X=A\cup [/mm] B d.h [mm] \mu(B)=0 [/mm] und [mm] \nu(A)=0
[/mm]
erhalten wir doch [mm] \mu(X)=0 [/mm] wegen der bedingung [mm] \nu \ll \mu [/mm] folt dann auch [mm] \nu(X)=0
[/mm]
ist das richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:06 Mo 01.12.2014 | | Autor: | tobit09 |
> zu a) d.h. da mit [mm]\nu \ll \mu ,\mu(A)=0[/mm] auch [mm]\nu[/mm] (A)=0
> folgt und da es eine disjunkte mengen gibt mit [mm]X=A\cup[/mm] B
> d.h [mm]\mu(B)=0[/mm] und [mm]\nu(A)=0[/mm]
>
> erhalten wir doch [mm]\mu(X)=0[/mm]
Nein, [mm] $\mu(X)=0$ [/mm] gilt im Allgemeinen nicht.
> wegen der bedingung [mm]\nu \ll \mu[/mm]
> folt dann auch [mm]\nu(X)=0[/mm]
Folgerichtig.
Ich schrieb als Anleitung für den Beweis von [mm] $\nu(X)=0$:
[/mm]
> Seien $ [mm] A,B\in\mathcal{A} [/mm] $ obige disjunkte Mengen mit $ [mm] \mu(B)=0 [/mm] $ und $ [mm] \nu(A)=0 [/mm] $.
>
> Was weißt du über $ [mm] \nu(B) [/mm] $?
Verwende [mm] $\nu\ll\mu$ [/mm] zu und [mm] $\mu(B)=0$.
[/mm]
> Wie hängt $ [mm] \nu(X) [/mm] $ mit $ [mm] \nu(A) [/mm] $ und $ [mm] \nu(B) [/mm] $ zusammen?
Verwende die Additivität von [mm] $\nu$.
[/mm]
|
|
|
|
