absolute Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:52 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Marcco |
| Aufgabe | Sei (an) eine reelle Folge. Für n [mm] \in \IN [/mm] definieren wir [mm] a_{n}^{+}:=max\{a_{n},0\} [/mm] und [mm] a_{n}^{-}:=max\{-a_{n},0\} [/mm] .
Zeigen Sie: Die Reihe [mm] \summe a_{n} [/mm] ist genau dann absolut konvergent, wenn die Reihe [mm] \summe a_{n}^{+} [/mm] und [mm] \summe a_{n}^{-} [/mm] konvergieren. |
Hier bin ich leider ratlos, hab auch noch keine Idee. Sorry
Wer kann mir weiter helfen?
Besten Gruß
Marco
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 Do 06.12.2007 | | Autor: | Marcco |
Hey!
Danke für den Tipp und den Link.
Kann aber leider damit überhaupt nichts anfangen. Auf diese Beziehung mit dem Btrag auch [mm] (a_n) [/mm] komm ich noch, aber wie ich das dann einsetzten muss um es zu zeigen, weiß ich leider nicht.
Ausserdem ist doch auch in diesem Fall nicht nur die Richtung von links nach rechts zu zeigen, sondern auch von rechts nach Links.
Geh ich eigentlich davon aus, das meine [mm] \summe (a_n) [/mm] konvergent ist?
Beste Grüße
Marco
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> Kann aber leider damit überhaupt nichts anfangen. Auf diese
> Beziehung mit dem Btrag auch [mm](a_n)[/mm] komm ich noch, aber wie
> ich das dann einsetzten muss um es zu zeigen, weiß ich
> leider nicht.
Hallo,
es wäre jetzt interessant zu wissen, wie Du blechs Hinweis umgesetzt hast.
Vielleicht zeigst Du nochmal genau, wie weit Du bisher gekommen bist, und wie Du versucht hast, blechs Hinweis umzusetzen.
>
> Ausserdem ist doch auch in diesem Fall nicht nur die
> Richtung von links nach rechts zu zeigen, sondern auch von
> rechts nach Links.
>
> Geh ich eigentlich davon aus, das meine [mm]\summe (a_n)[/mm]
> konvergent ist?
Es ist richtig, daß beide Richtungen zu zeigen sind.
Trenne sie deutlich:
A. $ [mm] \summe a_n [/mm] $ ist absolut konvergent ==> $ [mm] \summe a^{+}_n [/mm] $ und $ [mm] \summe a^{-}_n [/mm] $ konvergieren.
Hier ist die absolute Konvergenz v. [mm] \summe a_n [/mm] Voraussetzung , und die Konvergenz der beiden anderen Reihen ist zu folgern.
Was bedeutet eigentlich "$ [mm] \summe a_n [/mm] $ ist absolut konvergent"?
B. $ [mm] \summe a^{+}_n [/mm] $ und $ [mm] \summe a^{-}_n [/mm] $ konvergieren ==> $ [mm] \summe a_n [/mm] $ ist absolut konvergent
Hier setzt Du die Konvergenz der Reihen [mm] \summe a^{+}_n [/mm] $ und $ [mm] \summe a^{-}_n [/mm] $ voraus.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Do 06.12.2007 | | Autor: | Marcco |
Hi.
Naja, absolute konvergenz heißt, das auch der Betrag der Reihe konvergiern muss.
[mm] \summe_{i=0}^{n} (a_n) [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} |(a_n)|
[/mm]
wie das allerdings an zu wenden ist, kann ich dir leider nicht sagen!!
Aber was ich weiß ist,
[mm] |a_n|=a_n^++a_n^-
[/mm]
[mm] a_n=a_n^-a_n^-
[/mm]
ist.
Sorry, mehr weiß ich leider nicht.
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> Naja, absolute konvergenz heißt, das auch der Betrag der
> Reihe konvergiern muss.
Es bedeutet, daß auch [mm] \summe |a_n| [/mm] konvergiert.
>
> [mm]\summe_{i=0}^{n} (a_n)[/mm] = [mm]\summe_{i=0}^{n} |(a_n)|[/mm]
Was meinst Du damit? Das hier: [mm] \summe_{i=0}^{\infty} (a_n)[/mm] [/mm] = [mm][mm] \summe_{i=0}^{\infty} |(a_n)| [/mm] ?
Das stimmt nicht.
Betrachte hierzu [mm] \summe_{i=0}^{\infty} (\bruch{1}{2}) [/mm] und [mm] \summe_{i=0}^{\infty} (-\bruch{1}{2})
[/mm]
>
>
> wie das allerdings an zu wenden ist, kann ich dir leider
> nicht sagen!!
> Aber was ich weiß ist,
>
> [mm]|a_n|=a_n^++a_n^-[/mm]
> [mm]a_n=a_n^{+}-a_n^{-}[/mm]
>
> ist.
Das stand ja auch in blechs Artikel.
> Sorry, mehr weiß ich leider nicht.
Welcher Art Hilfe erwartest Du, denn daß Du diese Mitteilung als Frage eingestellt hast, werte ich so, daß Du Hilfe möchtest.
Blech versucht sie dort ja zu geben:
Wenn Du dort weiterliest, kommt was mit Einsetzen, warum machst Du das nicht?
Was hat man dann, und wie könnte man das verwenden?
Gruß v. Angela
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