absolute Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 So 02.12.2012 | | Autor: | zjay |
| Aufgabe | Für n [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] a_{n}:= b_{n}:=\bruch{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] konvergent ist, und überprüfen Sie die Reihe auf absolute Konvergenz |
Die Konvergenz habe ich mithilfe des Leibniz-Kriteriums bereits nachgewiesen. Jetzt geht es um die absolute Konvergenz.
Ich habe es mit dem Quotientenkriterium versucht:
[mm] \frac{\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n+1+1}}}{\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}}} [/mm] = [mm] \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n+2}} [/mm] * [mm] \frac{\sqrt{n+1}}{(-1)^{n}} [/mm] = [mm] \frac{-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}} [/mm] = [mm] -\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}}.
[/mm]
Jetzt die Schlussfolgerung, wo ich mir nicht sicher bin, ob das so einfach daraus gefolgert werden kann:
Da für das Quotientenkriterium [mm] |-\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}}| [/mm] < 1 sein muss, ist diese Reihe absolut konvergent, da der Nenner für n [mm] \rightarrow \infty [/mm] größer ist als der Zähler.
mfg,
zjay
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:08 Mo 03.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Für n [mm]\in \IN[/mm] sei [mm]a_{n}:= b_{n}:=\bruch{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm]
> konvergent ist, und überprüfen Sie die Reihe auf absolute
> Konvergenz
> Die Konvergenz habe ich mithilfe des Leibniz-Kriteriums
> bereits nachgewiesen. Jetzt geht es um die absolute
> Konvergenz.
>
> Ich habe es mit dem Quotientenkriterium versucht:
>
>
>
> [mm]\frac{\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n+1+1}}}{\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}}}[/mm]
> = [mm]\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n+2}}[/mm] *
> [mm]\frac{\sqrt{n+1}}{(-1)^{n}}[/mm] =
> [mm]\frac{-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}}[/mm] =
> [mm]-\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}}.[/mm]
>
> Jetzt die Schlussfolgerung, wo ich mir nicht sicher bin, ob
> das so einfach daraus gefolgert werden kann:
>
>
> Da für das Quotientenkriterium
> [mm]|-\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}}|[/mm] < 1 sein muss, ist diese
> Reihe absolut konvergent,
Diese Schlußfolgerung ist i.a. falsch ! Beispiel: [mm] c_n=1/n, [/mm]
[mm] \sum c_n [/mm] divergiert.
Schau Dir das QK nochmal genau an !!!!!!
Mit obigem [mm] a_n [/mm] ist [mm] |a_n|=\bruch{1}{\sqrt{n+1}} \ge [/mm] 1/n für n [mm] \ge [/mm] 2
FRED
> da der Nenner für n [mm]\rightarrow \infty[/mm]
> größer ist als der Zähler.
>
> mfg,
>
> zjay
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Mo 03.12.2012 | | Autor: | zjay |
Also beim Quotientenkriterium stehe ich auf dem Schlauch. Wo soll da ein Fehler drin sein? ich erkennen den Fehler leider nicht.
mfg,
zjay
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Mo 03.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Also beim Quotientenkriterium stehe ich auf dem Schlauch.
> Wo soll da ein Fehler drin sein? ich erkennen den Fehler
> leider nicht.
Wir machen das jetzt so: Du formulierst das QK wörtlich, wie Du es in der Vorlesung gelernt hast. Dann reden wir drüber.
FRED
>
> mfg,
>
> zjay
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Mo 03.12.2012 | | Autor: | zjay |
Gilt [mm] a_{n} \not= [/mm] 0 für fast alle n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} [/mm] = q
so konvergiert die Reihe, falls q < 1.
mfg,
zjay
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Mo 03.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Gilt [mm]a_{n} \not=[/mm] 0 für fast alle n [mm]\in \IN[/mm] und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}[/mm] = q
>
> so konvergiert die Reihe, falls q < 1.
Prima !
Aber es reicht nicht, wenn [mm] \bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}<1 [/mm] für fast alle n !
Das siehst Du am Beispiel [mm] a_n=1/n. [/mm]
da ist [mm] \bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}<1 [/mm] für alle n.
Aber $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} [/mm] $ = 1
[mm] \sum a_n [/mm] divergiert.
FRED
>
> mfg,
>
> zjay
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