absolute konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es sei [mm] (\alpha_{n}) [/mm] eine beschränkte folge.
Zeigen Sie: Ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] absolut konvergent, dann ist auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \alpha_{n}a_{n} [/mm] absolut konvergent. |
Hallo! Hab leider keinen Peil wie man das zeigt! Absolut konvergent heißt doch, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty} |a_{n}| [/mm] konvergiert. und die Vor. sagt mir doch, dass auch [mm] (\alpha_{n}) [/mm] konvergiert. Somit wäre also zu zeigen, dass auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty} |\alpha_{n}a_{n}| [/mm] konvergiert,oder? nur die frage ist wie! kann jemand helfen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 Sa 12.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo sepp-sepp!
Verwende für [mm] $\alpha_n$ [/mm] die Definition für die Beschränktheit und anschließend für die neue Reihe das Majorantenkriterium.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
also die def. von beschränktheit wäre doch diese:
[mm] \alpha_{n} [/mm] beschränkt => es gibt ein k>0 sodass gilt: [mm] |\alpha_{n}|
Majorantenkriterium allgemein: Besitzt die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] eine konvergente Majorante [mm] \summe_{n=0}^{\infty} c_{n}, [/mm] so ist sie absolut konvergent und damit auch konvergent.
aber wie komm ich da mit dem majorantenkriterium weiter? da müsste ich doch irgendeine größere konvergente folge finden. ich glaub irgendwie, dass die absolute konvergenz in unserer aufgabe der reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] eine rolle spielt, denn in aufgabe b) soll man begründen, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \alpha_{n} a_{n} [/mm] nicht unbedingt konvergent sein muss, wenn [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] nur konvergent, aber nicht absolut konv. ist. das soll man an einem beispiel, das ich aber bisher auch noch nicht hab, begründen. somit ist wohl diese absolute konvergenz entscheidend oder? hat jemand ne idee?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 So 13.12.2009 | | Autor: | sepp-sepp |
hat denn keiner eine idee wie man es lösen könnte? muss doch irgendwie machbar sein oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 So 13.12.2009 | | Autor: | dormant |
Hi!
Bloß keinen Stress machen.
wenn [mm] \alpha_n [/mm] beschränkt ist, dann gibt es ein K>0 mit [mm] |\alpha_n|
Dann ist ja [mm] \summe_{i=1}^{n}|\alpha_n*a_n|<\summe_{i=1}^{n}K*|a_n|.
[/mm]
Damit ist es schon da.
Grüße,
dormant
|
|
|
| |
|
aja danke. weißt du vielleicht ein beispiel für eine folge, so dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \alpha_{n} a_{n} [/mm] nicht unbedingt konvergent sein muss, wenn [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] nur konvergent, aber nicht absolut konv. ist.?warum ist diese absolute konvergenz da so wichtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 So 13.12.2009 | | Autor: | dormant |
Hi!
> aja danke. weißt du vielleicht ein beispiel für eine
> folge, so dass [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \alpha_{n} a_{n}[/mm] nicht
> unbedingt konvergent sein muss, wenn [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm]
Ja. Jede alternierende und beschränkte [mm] \alpha_n [/mm] tut's (etwa [mm] (\pm 1)^n [/mm] ).
> nur konvergent, aber nicht absolut konv. ist.?warum ist
> diese absolute konvergenz da so wichtig?
Negative Summanden der Folge machen das Konvergenzverhalten nicht kaputt.
Grüße,
dormant
|
|
|
| |
|
aja. meinst du reicht es wenn ich dann hinschreibe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} [/mm] konvergent aber nicht absolut konvergent.
deshalb muss [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\alpha_{n} [/mm] nicht unbedingt konvergent sein, aufgrund der negativen glieder.
|
|
|
| |
|
Hallo sepp-sepp,
> aja. meinst du reicht es wenn ich dann hinschreibe:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}[/mm] konvergent aber nicht absolut
> konvergent.
> deshalb muss [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\alpha_{n}[/mm] nicht
> unbedingt konvergent sein, aufgrund der negativen glieder.
Mal ehrlich: Hast du verstanden, was du da gerade geschrieben hast?
[mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}[/mm]
ist doch nicht konvergent!
Bei dem Gegenbeispiel geht es zum Beispiel um Reihen, die nach dem Leibniz-Kriterium konvergieren.
Beispielsweise konvergiert die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^{\infty}a_{k} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}*\frac{1}{k}$ [/mm] nach dem Leibniz-Kriterium (Warum?).
Nun wählst du die beschränkte Folge [mm] $\alpha_{k} [/mm] = [mm] (-1)^{k}$. [/mm] Die Folge ist offensichtlich beschränkt durch 1, d.h. es gilt: [mm] $|\alpha_{k}|\le [/mm] 1 [mm] \forall k\in\IN$. [/mm] Was ist dann
[mm] $\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{k}*a_{k}$
[/mm]
? Konvergiert das noch?
Grüße,
Stefan
|
|
|
|
