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| Aufgabe | Man zeige, dass bei der Division
z = [mm] f(x_1,x_2) [/mm] = [mm] \bruch{x_1}{x_2}, x_2 \not= [/mm] 0,
das Fehlerfortpflanzungsgesetz
[mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{x_2}\varepsilon_1 [/mm] - [mm] \bruch{x_1}{(x_2)^2}\varepsilon_2
[/mm]
gilt.
PS: Das "=" hinter "z" soll eigentlich so ein "GLEICH"-Zeichen mit jeweils einem Punkt drüber und drunter sein, aber ich weiß nicht wie ich das hier schreiben soll. |
Hallo,
könnt Ihr mir da helfen?
Ich persönlich komm da nicht drauf:
[mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{x_1 + \varepsilon_1}{x_2 + \varepsilon_2} [/mm] - [mm] \bruch{x_1}{x_2} [/mm] = [mm] \bruch{x_1 + \varepsilon_1}{x_2 + \varepsilon_2} [/mm] - [mm] \bruch{x_1(1 + \varepsilon_1)}{x_2(1 + \varepsilon_2)} [/mm] = [mm] \bruch{x_1 + \varepsilon_1}{x_2 + \varepsilon_2} [/mm] - [mm] \bruch{x_1 + \varepsilon_2}{x_2 + \varepsilon_2} [/mm] = [mm] \bruch{\varepsilon_1 + \varepsilon_2}{x_2 + \varepsilon_2}
[/mm]
Weiß da einer von Euch weiter?
Danke,
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 Di 15.05.2007 | | Autor: | wauwau |
[mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\bruch{x_1 + \varepsilon_1}{x_2 + \varepsilon_2}[/mm] - [mm]\bruch{x_1}{x_2}[/mm] = [mm] \bruch{\epsilon_{1}*x_{2}-\epsilon_{2}*x_{1}}{x_{2}^2+\epsilon_{2}*x_{2}} [/mm] = [mm] \bruch{\epsilon_{1}}{x_{2}}*\bruch{1}{1+\bruch{\epsilon_{2}}{x_{2}}}-\bruch{\epsilon_{2}x_{1}}{x_{2}^2}*\bruch{1}{1+\bruch{\epsilon_{2}}{x_{2}}}
[/mm]
Die beiden Faktoren sind nun ca 1, da [mm] \epsilon [/mm] klein ist
[mm] \bruch{1}{1+x} [/mm] ist in etwa 1-x und da bei der Fehlerfortplanzung nur Terme in linearen [mm] \epsilon [/mm] genommen werden, folgt die Behauptung...
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Hallo,
das ist bestimmt eine dumme Frage, aber wie hast du folgende Umstellung vollzogen:
[mm]\bruch{x_1 + \varepsilon_1}{x_2 + \varepsilon_2}[/mm] - [mm]\bruch{x_1}{x_2}[/mm] = [mm]\bruch{\epsilon_{1}*x_{2}-\epsilon_{2}*x_{1}}{x_{2}^2+\epsilon_{2}*x_{2}}[/mm]
Auch wollte ich wissen, ob meine Rechnung grundsaetzlich falsch war, oder ob es nur eine andere Darstellung der gleichen Gleichung ist?
Danke,
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:30 Di 15.05.2007 | | Autor: | sancho1980 |
dumme frage, das mit der umstellung...bin grad dahintergekommen...hast nur ein paar schritte uebersprungen, deswegen bin ich nicht klar gekommen...schau mir grad den rest an...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Di 15.05.2007 | | Autor: | wauwau |
siehe letzte Antwort
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> Die beiden Faktoren sind nun ca 1, da [mm]\epsilon[/mm] klein ist
Das versteh ich nicht: Meinst du [mm] \bruch{\varepsilon_1}{x_2} [/mm] und [mm] \bruch{\varepsilon_2x_1}{x_2^2} [/mm] sind jeweils ungefaehr 1 WEIL [mm] \varepsilon [/mm] klein ist? Wie gross [mm] \varepsilon [/mm] ist, will ich doch herausfinden! Oder meintest du [mm] \varepsilon_1 [/mm] und [mm] \varepsilon_2? [/mm] Aber wieso sollte [mm] \bruch{\varepsilon_1}{x_2} [/mm] ungefaehr 1 sein, weil [mm] \varepsilon_1 [/mm] klein ist? Kannst du das bitte nochmal erklaeren?
Danke,
Martin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Di 15.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Nein
der Faktor [mm] (\bruch{1}{1+\bruch{\epsilon_{2}}{x_{2}}})
[/mm]
ist ungefähr 1
um genau zu sein (nicht lineare höhere Glieder vernachlässigend)
[mm] (\bruch{1}{1+\bruch{\epsilon_{2}}{x_{2}}}) \sim [/mm] (1 - [mm] \bruch{\epsilon_{2}}{x_{2}})
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Di 15.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Habt ihr das nicht mit Ableitungen gemacht?
Dann geht es noch schneller, aber deine Methode geht auch, wenn du keine Fehler machst!
> Man zeige, dass bei der Division
>
> z = [mm]f(x_1,x_2)[/mm] = [mm]\bruch{x_1}{x_2}, x_2 \not=[/mm] 0,
>
> das Fehlerfortpflanzungsgesetz
>
> [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\bruch{1}{x_2}\varepsilon_1[/mm] -
> [mm]\bruch{x_1}{(x_2)^2}\varepsilon_2[/mm]
>
> gilt.
>
> PS: Das "=" hinter "z" soll eigentlich so ein
> "GLEICH"-Zeichen mit jeweils einem Punkt drüber und drunter
> sein, aber ich weiß nicht wie ich das hier schreiben soll.
> Hallo,
> könnt Ihr mir da helfen?
> Ich persönlich komm da nicht drauf:
>
> [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\bruch{x_1 + \varepsilon_1}{x_2 + \varepsilon_2}[/mm]
> - [mm]\bruch{x_1}{x_2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
=
warum machst du die nächste Umformung? Die ist einfach falsch!
\bruch{x_1}{x_2}\ne \bruch{x_1(1 + \varepsilon_1)}{x_2(1 + \varepsilon_2)
auch im nächsten Schritt multiplizierst du die Klammern nicht richtig aus.
Du musst die 2 Brüche auf einen Hauptnenner , der ist :
(x_2 + \varepsilon_2)*x2 bringen, dann geht einiges weg.
Dann hast du schon fast die gesuchte Formel.
>[mm]\bruch{x_1 + \varepsilon_1}{x_2 + \varepsilon_2}[/mm]
> - [mm]\bruch{x_1(1 + \varepsilon_1)}{x_2(1 + \varepsilon_2)}[/mm] =
> [mm]\bruch{x_1 + \varepsilon_1}{x_2 + \varepsilon_2}[/mm] -
> [mm]\bruch{x_1 + \varepsilon_2}{x_2 + \varepsilon_2}[/mm] =
> [mm]\bruch{\varepsilon_1 + \varepsilon_2}{x_2 + \varepsilon_2}[/mm]
Zu viele falsche Umformungen!
Gruss leduart
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Hi,
ich hatte mich vertippt:
[mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\bruch{x_1 + \varepsilon_1}{x_2 + \varepsilon_2}[/mm] - [mm]\bruch{x_1}{x_2}[/mm] = [mm]\bruch{x_1 + \varepsilon_1}{x_2 + \varepsilon_2}[/mm] - [mm]\bruch{x_1(1 + \varepsilon_2 )}{x_2(1 + \varepsilon_2)}[/mm] = [mm]\bruch{x_1 + \varepsilon_1}{x_2 + \varepsilon_2}[/mm] - [mm]\bruch{x_1 + \varepsilon_2}{x_2 + \varepsilon_2}[/mm] = [mm]\bruch{\varepsilon_1 - \varepsilon_2}{x_2 + \varepsilon_2}[/mm]
Stimmt doch jetzt, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Di 15.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Vollkommen falsch - Bruchrechnung - Gemsinamer nenner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Di 15.05.2007 | | Autor: | sancho1980 |
Tschuldigung, hab irgendwie nicht gesehen warum das nicht geht. Hab grad ne halbe Stunde gebraucht um zu sehen dass [mm] x_2(1 [/mm] + [mm] \varepsilon_2) [/mm] = [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_2\varepsilon_2 [/mm] und [mm] \not= x_2 [/mm] + [mm] \varepsilon_2
[/mm]
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> Hallo
> Habt ihr das nicht mit Ableitungen gemacht?
Wonach soll ich denn ableiten? Nach [mm] x_1 [/mm] oder [mm] x_2?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Di 15.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
f(x,y) Fehler df Fehler von x: dx, Fehler von y dy. dann gilt: immer wenn die Fehler klein sind:
[mm] df=f_x*dx+f_y*dy. [/mm] das musst du jetzt noch in deine [mm] \varepsilo [/mm] s umdenken.
Wenn ihr das aber nicht gemacht habt rechne einfach die Differenz endlich richtig aus.
Gruss leduart
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