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abzählbarkeit: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:39 Di 01.11.2005
Autor: NanoSusi

Hallo liebe Leute,
ich habe schon Paar Tage versucht die Aufgabe selbst zu lösen, da ich aber keine Erfahrung mit solcher Art von Aufgaben habe, sind die Ansätze recht karg.
Also, Aufgabe : Zu zeigen ist , dass die Menge aller Teilmengen von  [mm] \IN [/mm] abzählbar ist.
Die erste idee : im Buch von O.Forster fand ich die Def., die besagt , dass eine menge D abzählbar ist, wenn eine Abb. [mm] \IN \to [/mm] D surjektiv ist.
Da die Menge aller Teilmengen von [mm] \IN [/mm]  ausschliesslich aus Elementen von [mm] \IN [/mm]  besteht, so sollte die Surjektivität vorhanden sein. Aber irgendwie kommt mir so eine Art von Beweis nicht wirklich überzeugend.
Zweite Idee: Im "Lehrbuch der Analyse" habe ich gefunden, dass menge, die aus abzählbaren Mengen besteht , selbs abzählbar ist. Und als beweis stand da nun eine Art MAtrix, die die Elemente durchnumerierte.. Tja ..damit kann ich auch nicht viel anfangen.
Villeicht bin ich ganz auf dem falschen Weg, könnte mir da jemand ein Tipp geben ?

Herzlichste Dank im Voraus
Nanosusi

        
Bezug
abzählbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:52 Di 01.11.2005
Autor: Stifmeister

Eine Menge D ist doch abzählbar, wenn es eine bijektive Abbildung aus den natürlichen Zahlen  [mm] \IN [/mm] in die betreffende Menge gibt.
Also musst Du eben solch eine bijektive Abbildung finden.

Gruss,
Stifmeister

Bezug
                
Bezug
abzählbarkeit: bin kein Schritt weiter
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:55 Mi 02.11.2005
Autor: NanoSusi

Ja, danke erstmal für die schnelle Antwort, aber jetzt bin ich nicht viel weiter als vorhin ... Dein Rat ist ja nichts anderes als umformulierte Defenitionen, die ich aufgelistet habe. Er ist ja auch nicht falsch (sorry für die kennzeichnung als falsch) .. ich wollte nur damit erreichendass andere Mitglieder noch ein Blick darauf werfen

MfG
Nanosusi

Bezug
                        
Bezug
abzählbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:44 Mi 02.11.2005
Autor: Stefan

Hallo!

Es wird dir nicht gelingen zu zeigen, dass [mm] ${\cal P}(\IN)$, [/mm] die Potenzmenge von [mm] $\IN$, [/mm] also die Menge aller Teilmengen von [mm] $\IN$, [/mm] abzählbar ist, denn sie ist es schlicht nicht. ;-)

Nein, sie ist überabzählbar.

Gäbe es nämlich eine Bijektion $f: [mm] \IN \to {\cal P}(\IN)$, [/mm] so müsste es es zu [mm] $A:=\{m \in \IN\, : \, m \notin f(m)\} \in {\cal P}(\IN)$ [/mm] ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] geben mit $f(n)=A$.

Dann gibt es zwei Fälle: $n [mm] \in [/mm] A$ oder $n [mm] \notin [/mm] A$.

Beides führt zu einem Widerspruch.

Kann es also sein, dass du dich verlesen hast?

Im Übrigen bitte ich dich die "Fehlerhaft"-Markierung wieder rückgängig zu machen. Das sollte man nur machen, wenn Artikel wirklich fehlerhaft sind. Sonst wird Hilfsbereitschaft torpediert.

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
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