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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - additionstheoreme sin/cos
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additionstheoreme sin/cos: frage zu einer aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:16 Mo 31.01.2005
Autor: bob

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo mathematiker,
suche hilfestellung bei folgendem problem:
additionstheoreme:
sin(a  [mm] \pm [/mm] b) = sin a * cos b  [mm] \pm [/mm] cos a * sin b
und
cos(a  [mm] \pm [/mm] b) = cos a *cos b  [mm] \pm [/mm] sin a * sin b

zeige mit hilfe dieser theoreme das gilt:
sin (3x) = 3 sin x - 4 sin³x

meine frage jetzt speziell: stellt sin (3x) den a oder den b-wert dar? muss ich die cos aus dem ersten theorem in das cos-theorem einsetzen um eine
lösung zu erhalten? bitte um einen lösungsansatz...

        
Bezug
additionstheoreme sin/cos: Zerlegung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:26 Mo 31.01.2005
Autor: Loddar

Hallo Bob,

[willkommenmr] !!!


>  sin(a  [mm]\pm[/mm] b) = sin a * cos b  [mm]\pm[/mm] cos a * sin b
>  und
>  cos(a  [mm]\pm[/mm] b) = cos a *cos b  [mm]\pm[/mm] sin a * sin b
>
> zeige mit hilfe dieser theoreme das gilt:
> sin (3x) = 3 sin x - 4 sin³x
>  
> meine frage jetzt speziell: stellt sin (3x) den a oder den
> b-wert dar? muss ich die cos aus dem ersten theorem in das
> cos-theorem einsetzen um eine lösung zu erhalten?


Probier's doch mal mit der Zerlegung: $3x = x + 2x$
In einem weiteren Schritt sollte dann sein: $2x = x + x$


Kommst Du so weiter??

Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
additionstheoreme sin/cos: rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:07 Di 01.02.2005
Autor: bob

danke für deine schnelle antwort loddar,
bin erst jetzt wieder online gegangen. habe mit der zerlegung gerechnet
und bin zu folgendem therm gekommen:
sin(x+2x)=sinx*cos2x + cosx*sin2x
=>cos(2x)=cos²x - sin²x  und  sin(2x)=2sinx*cosx
einsetzen:
sin(x+2x)=sinx*cos²x-sin²x+cosx*2sinx*cosx
=>sinx*cos²x - sin³x + 2 sinx*cos²x = 3sinx*cos²x - sin³x
befinde ich mich auf dem holzweg?


Bezug
                        
Bezug
additionstheoreme sin/cos: (letzter) Tipp ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:23 Di 01.02.2005
Autor: Loddar

Guten morgen bob!


>  sin(x+2x)=sinx*cos2x + cosx*sin2x
>  =>cos(2x)=cos²x - sin²x  und  sin(2x)=2sinx*cosx

[daumenhoch]


>  einsetzen:
>  sin(x+2x)=sinx*cos²x-sin²x+cosx*2sinx*cosx

Hier hast Du vergessen, die Klammern zu setzen. Aber gemäß Deiner folgenden Rechnung hast Du das richtige gemeint. Trotzdem bitte sauber aufschreiben:
$sin(x+2x) \ = \ [mm] sin(x)*\red{\left[}cos^2(x)-sin^2(x) \red{\right]} [/mm] + cos(x)*2sin(x)*cos(x)$



>  =>sinx*cos²x - sin³x + 2 sinx*cos²x = 3sinx*cos²x - sin³x

[daumenhoch] Wie gesagt: Rechnung ist richtig!


>  befinde ich mich auf dem holzweg?

Nein, du bist nur noch einen Schritt vom gewünschten Ergebnis entfernt. Im Ergebnis ist ja kein $cos$ vorhanden.
Diesen könne wir jedoch ersetzen aus:
[mm] $cos^2(x) [/mm] + [mm] sin^2(x) [/mm] \ = \ 1$    [mm] $\Rightarrow$ $cos^2(x) [/mm] \ = \ ...$


Dies' einsetzen in Dein Ergebnis und noch kurz zusammenfassen ... fertig!


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
additionstheoreme sin/cos: Endkommentar
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:21 Di 01.02.2005
Autor: bob

moin, moin,
(den tip mit den sauberen klammern werd ich bei meiner
nächsten fragen berücksichtigen)
sin²x + cos²x = 1 ;-)
=> cos²x = 1-sin²x

=> 3sinx*(1-sin²x)-sin³x = 3sinx-3sin³x-sin³x
=3sinx-4sin³x, welches der Lösung entspricht.


Bezug
                                        
Bezug
additionstheoreme sin/cos: Ganz genau ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:28 Di 01.02.2005
Autor: Loddar


>  (den tip mit den sauberen klammern werd ich bei meiner
>  nächsten fragen berücksichtigen)

[daumenhoch]


>  sin²x + cos²x = 1 ;-)
> => cos²x = 1-sin²x
>  
> => 3sinx*(1-sin²x)-sin³x = 3sinx-3sin³x-sin³x
>  =3sinx-4sin³x, welches der Lösung entspricht.

[daumenhoch]

Weiter so ...


Loddar


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