adj. Abb. und Bifo < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Di 03.08.2004 | | Autor: | hanna |
Hallo!
Wie auch viele andere hier lerne ich gerade für die Klausur und komme mit einer Aufgabe nicht klar:
Es sei [mm]V[/mm] ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und [mm] \Phi [/mm] eine nicht -ausgeartete Bilinearform auf [mm]V[/mm].
Für [mm]\varphi \in End_K(V)[/mm] bezeichnen wir mit [mm] \varphi^+ [/mm] die zu [mm] \varphi [/mm] adjungierte Abbildung bezüglich [mm] \Phi.
[/mm]
Zeigen Sie:
Für alle [mm]\varphi , \psi \in End_K(V)[/mm] gilt [mm](\varphi +\psi)^+=\varphi ^++\psi^+[/mm].
(Hinweis: Es kommt auf die sorgfältige Argumentation an. Wo geht z.B. die Voraussetzung ein, dass [mm] \Phi [/mm] nicht-ausgeartet ist?)
Das einzige, was ich von einer adj. Abbildung weiß, ist dass folgendes gilt:
[mm]\Phi(\varphi(v),w)=\Phi(v,\varphi^+(w)) \forall v,w \in V [/mm].
hm, und ich hab dann einiges hin und her überlegt, aber ich komme echt nicht drauf (was wohl daran liegen kann, dass meinem Hirn die Akrobatik für heute reicht  ).
Kann mir da von euch vllt. jemand helfen?
Das wäre sehr nett!
Gruß,
Hanna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:24 Mi 04.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Hanna!
Da [mm] $\Phi$ [/mm] nicht-ausgeartet ist, existieren die adjungierten Abbildungen von [mm] $\varphi$, $\psi$ [/mm] und [mm] $\varphi [/mm] + [mm] \psi$ [/mm] und sind durch die Gleichungen
[mm] $\Phi(\varphi(v),w) [/mm] = [mm] \Phi(v,\varphi^+(w))$,
[/mm]
[mm] $\Phi(\psi(v),w) [/mm] = [mm] \Phi(v,\psi^+(w))$
[/mm]
und
[mm] $\Phi((\varphi [/mm] + [mm] \psi)(v),w) [/mm] = [mm] \Phi(v,(\varphi [/mm] + [mm] \psi)^+(w))$
[/mm]
für alle $v,w [mm] \in [/mm] V$ eindeutig bestimmt.
Daher genügt es, um
[mm] $(\varphi [/mm] + [mm] \psi)^+ [/mm] = [mm] \varphi^+ [/mm] + [mm] \psi^+$
[/mm]
zu zeigen, die folgende Gleichheit für alle $v,w [mm] \in [/mm] V$ nachzuweisen:
[mm] $\Phi((\varphi [/mm] + [mm] \psi)(v),w) [/mm] = [mm] \Phi(v, (\varphi^+ [/mm] + [mm] \psi^+)w)$.
[/mm]
Das ist aber elementar, denn:
[mm] $\Phi((\varphi [/mm] + [mm] \psi)(v),w)$
[/mm]
(Definition der Summe zweier Abbildungen)
$= [mm] \Phi(\varphi(v) [/mm] + [mm] \psi(v),w)$
[/mm]
(Bilinearität von [mm] $\green{\Phi}$)
[/mm]
$= [mm] \Phi(\varphi(v),w) [/mm] + [mm] \Phi(\psi(v),w)$
[/mm]
$= [mm] \Phi(v,\varphi^+(w)) [/mm] + [mm] \Phi(v,\psi^+(w))$
[/mm]
$= [mm] \ldots$
[/mm]
$= [mm] \Phi(v, (\varphi^+ [/mm] + [mm] \psi^+)w)$.
[/mm]
Die Lücken kannst du nun bestimmt selber füllen, schließlich bist du eine clevere Mathematikerin.
Melde dich doch einfach mal mit den fehlenden Schritten zwecks Kontrolle (für dich selbst) oder weiteren Fragen.
Ich werde dir dann nicht antworten, da ich ab morgen wieder bis zum Wochenende im Urlaub bin. Aber es hilft dir bestimmt jemand anderes weiter.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Mi 04.08.2004 | | Autor: | hanna |
Hallo Stefan!
also, dann mach ich die aufgabe mal "fertig" und vielen dank für deine hilfe.
ich wusste nämlich nicht,ob ich das hier
> [mm]\Phi((\varphi + \psi)(v),w)[/mm]
>
> (Definition der Summe zweier Abbildungen)
so machen darf.
aber dann ist es ja auch wirklich nicht schwer:
> Da [mm]\Phi[/mm] nicht-ausgeartet ist, existieren die adjungierten
> Abbildungen von [mm]\varphi[/mm], [mm]\psi[/mm] und [mm]\varphi + \psi[/mm] und sind
> durch die Gleichungen
>
> [mm]\Phi(\varphi(v),w) = \Phi(v,\varphi^+(w))[/mm],
>
>
> [mm]\Phi(\psi(v),w) = \Phi(v,\psi^+(w))[/mm]
>
> und
>
> [mm]\Phi((\varphi + \psi)(v),w) = \Phi(v,(\varphi + \psi)^+(w))[/mm]
>
>
> für alle [mm]v,w \in V[/mm] eindeutig bestimmt.
>
> Daher genügt es, um
>
> [mm](\varphi + \psi)^+ = \varphi^+ + \psi^+[/mm]
>
> zu zeigen, die folgende Gleichheit für alle [mm]v,w \in V[/mm]
> nachzuweisen:
>
> [mm]\Phi((\varphi + \psi)(v),w) = \Phi(v, (\varphi^+ + \psi^+)w)[/mm].
>
>
> Das ist aber elementar, denn:
>
> [mm]\Phi((\varphi + \psi)(v),w)[/mm]
>
> (Definition der Summe zweier Abbildungen)
>
> [mm]= \Phi(\varphi(v) + \psi(v),w)[/mm]
>
> (Bilinearität von [mm]\green{\Phi}[/mm])
>
> [mm]= \Phi(\varphi(v),w) + \Phi(\psi(v),w)[/mm]
>
>
> [mm]= \Phi(v,\varphi^+(w)) + \Phi(v,\psi^+(w))[/mm]
[mm]= \Phi(v,\varphi^+(w)+\psi^+(w)[/mm], da [mm] \Phi [/mm] bilinear
> [mm]= \Phi(v, (\varphi^+ + \psi^+)w)[/mm], s.o.
Also ist bis jetzt gezeigt, dass
[mm]\Phi(v,(\varphi + \psi)^+(w))=\Phi(v, (\varphi^+ + \psi^+)(w))[/mm].
Muss ich jetzt damit noch zeigen, dass [mm](\varphi + \psi)^+ = \varphi^+ + \psi^+[/mm] gilt?
Die Gleichheit habe ich ja bis jetzt nur unter der Abb [mm] \Phi [/mm] gezeigt.
(und da würde es auch eine große Rolle spielen, dass [mm] \Phi [/mm] nicht-ausgeartet ist, was ansonsten ja eher untergegangen wäre...)
Ich schreibe einfach mal auf, wie ich mir das weiter gedacht habe:
Da [mm]\Phi(v,(\varphi + \psi)^+(w))=\Phi(v, (\varphi^+ + \psi^+)(w))[/mm]
[mm]\Leftrightarrow \Phi(v,(\varphi + \psi)^+(w))-\Phi(v, (\varphi^+ + \psi^+)(w))=0 \forall v\in V[/mm].
[mm]\Leftrightarrow \Phi(v,(\varphi + \psi)^+(w))-(\varphi^+ + \psi^+)(w)=0 \forall v\in V[/mm].
Dann folgt mit der Definition von "nicht-ausgeartet", dass
[mm]\Rightarrow (\varphi + \psi)^+(w))-(\varphi^+ + \psi^+)(w)=0
\Leftrightarrow (\varphi + \psi)^+(w))=(\varphi^+ + \psi^+)(w)[/mm].
ich weiß nicht, ob die letzten schritte jetzt überhaupt nötig war, aber ich glaube schon.
hanna
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> > Da [mm]\Phi[/mm] nicht-ausgeartet ist, existieren die adjungierten
>
> > Abbildungen von [mm]\varphi[/mm], [mm]\psi[/mm] und [mm]\varphi + \psi[/mm] und sind
>
> > durch die Gleichungen
> >
> > [mm]\Phi(\varphi(v),w) = \Phi(v,\varphi^+(w))[/mm],
> >
> >
> > [mm]\Phi(\psi(v),w) = \Phi(v,\psi^+(w))[/mm]
> >
> > und
> >
> > [mm]\Phi((\varphi + \psi)(v),w) = \Phi(v,(\varphi + \psi)^+(w))[/mm]
>
> >
> >
> > für alle [mm]v,w \in V[/mm] eindeutig bestimmt.
> >
> > Daher genügt es, um
> >
> > [mm](\varphi + \psi)^+ = \varphi^+ + \psi^+[/mm]
> >
> > zu zeigen, die folgende Gleichheit für alle [mm]v,w \in V[/mm]
> > nachzuweisen:
> >
> > [mm]\Phi((\varphi + \psi)(v),w) = \Phi(v, (\varphi^+ + \psi^+)w)[/mm].
>
> >
> >
> > Das ist aber elementar, denn:
> >
> > [mm]\Phi((\varphi + \psi)(v),w)[/mm]
> >
> > (Definition der Summe zweier Abbildungen)
> >
> > [mm]= \Phi(\varphi(v) + \psi(v),w)[/mm]
> >
> > (Bilinearität von [mm]\green{\Phi}[/mm])
> >
> > [mm]= \Phi(\varphi(v),w) + \Phi(\psi(v),w)[/mm]
> >
> >
> > [mm]= \Phi(v,\varphi^+(w)) + \Phi(v,\psi^+(w))[/mm]
>
> [mm]= \Phi(v,\varphi^+(w)+\psi^+(w)[/mm], da [mm]\Phi[/mm] bilinear
>
> > [mm]= \Phi(v, (\varphi^+ + \psi^+)w)[/mm], s.o.
>
> Also ist bis jetzt gezeigt, dass
> [mm]\Phi(v,(\varphi + \psi)^+(w))=\Phi(v, (\varphi^+ + \psi^+)(w))[/mm].
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Muss ich jetzt damit noch zeigen, dass [mm](\varphi + \psi)^+ = \varphi^+ + \psi^+[/mm]
> gilt?
> Die Gleichheit habe ich ja bis jetzt nur unter der Abb [mm]\Phi[/mm]
> gezeigt.
Stefan hat in seiner Antwort schon gesagt, dass es genüge.
> (und da würde es auch eine große Rolle spielen, dass [mm]\Phi[/mm]
> nicht-ausgeartet ist, was ansonsten ja eher untergegangen
> wäre...)
> Ich schreibe einfach mal auf, wie ich mir das weiter
> gedacht habe:
>
> Da [mm]\Phi(v,(\varphi + \psi)^+(w))=\Phi(v, (\varphi^+ + \psi^+)(w))[/mm]
>
>
> [mm]\Leftrightarrow \Phi(v,(\varphi + \psi)^+(w))-\Phi(v, (\varphi^+ + \psi^+)(w))=0 \forall v\in V[/mm].
>
>
> [mm]\Leftrightarrow \Phi(v,(\varphi + \psi)^+(w))-(\varphi^+ + \psi^+)(w)=0 \forall v\in V[/mm].
>
>
> Dann folgt mit der Definition von "nicht-ausgeartet",
> dass
> [mm]\Rightarrow (\varphi + \psi)^+(w))-(\varphi^+ + \psi^+)(w)=0
\Leftrightarrow (\varphi + \psi)^+(w))=(\varphi^+ + \psi^+)(w)[/mm].
> ich weiß nicht, ob die letzten schritte jetzt überhaupt
> nötig war, aber ich glaube schon.
Meiner Meinung nach, kann man die Schritte machen, muss sie aber nicht machen.
Sie verdeutlichen aber noch einmal die Aussage und sind daher für das Verständnis ziemlich gut.
Gruss,
Wurzelpi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Sa 07.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Hanna!
> also, dann mach ich die aufgabe mal "fertig" und vielen
> dank für deine hilfe.
Gern geschehen.
> ich wusste nämlich nicht,ob ich das hier
> > [mm]\Phi((\varphi + \psi)(v),w)[/mm]
> >
> > (Definition der Summe zweier Abbildungen)
> so machen darf.
Das darfst du deswegen, weil es sich um eine nicht-ausgeartete Bilinearform handelt und deswegen die adjungierte Abbildung durch diese Gleichung eindeutig bestimmt ist (der Beweis dafür ist ja sinngemäß genau der, den du unten in deinem Beweis vormachst). Da ich aber mal davon ausgehe, dass ihr ihn in der Vorlesung gemacht habt (oder nicht?), kannst du das als bekannt voraussetzen.
Wie habt ihr denn die Adjungierte definiert?
Habt ihr denn nicht bewiesen, dass die Adjungierte für nicht-ausgeartete Bilinearformen eindeutig bestimmt ist? (Wenn nein, dann müsstest du deine Schritte weiter unten noch durchführen.)
> Muss ich jetzt damit noch zeigen, dass [mm](\varphi + \psi)^+ = \varphi^+ + \psi^+[/mm]
> gilt?
Nein, siehe oben (es sei denn, ihr habt -wie gesagt- nicht gezeigt, dass für eine nicht-ausgeartete Bilinearform die Adjungierte durch die bestimmende Gleichung eindeutig bestimmt ist, das weiß ich ja leider nicht, schließlich habe ich euer Skript nicht).
Vielleicht kannst du darauf ja noch einmal eingehen, auch und vor allem für Wurzelpi.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:33 Sa 07.08.2004 | | Autor: | hanna |
hallo stefan!
ups, ja, den beweis hatten wir schon mal in einer übungsaufgabe.
dankeschön nochmal und schönes wochenende noch!
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