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Forum "Funktionalanalysis" - adjungierter Operator
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adjungierter Operator: einige Dinge zeigen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:03 Do 25.10.2012
Autor: mikexx

Aufgabe
Sei [mm] $T\colon X\to [/mm] Y$ ein beschränkter Operator zwischen Banachräumen $X$ und $Y$ und $X'$, $Y'$ sind die jeweiligen Dualräume. Man definiert den adjungierten Operator [mm] $T'\colon Y'\to [/mm] X'$ von $T$ durch

$T'y'(x)=y'(Tx)$.

Zeigen Sie, dass $T'$ wohldefiniert, linear und stetig ist und dass [mm] $\lVert T\rVert=\lVert T'\rVert$ [/mm] (Hinweis: Für [mm] $\lVert T\rVert\leq\lVert T'\rVert$ [/mm] wenden Sie Hahn-Banach an.)

Hallo! Ich habe mich daran versucht und schreibe mal das auf, was ich habe.

1.) Zu der Identität [mm] $\lVert T\rVert =\lVert T'\rVert$: [/mm]

Zeige zunächst, dass [mm] $\geq$ [/mm] gilt.

[mm] $\lVert T'\rVert=\sup\limits_{\lVert y'\rVert\leq 1}\lVert T'y'\rVert=\sup\limits_{\lVert y'\rVert\leq 1}\lVert y'T\rVert\leq\underbrace{\sup\limits_{\lVert y'\rVert\leq 1}\lVert y'\rVert}_{\leq 1}\lVert T\rVert\leq\lVert T\rVert$ [/mm]

(Ich habe es zwar verwendet, aber weiß nicht mehr genau, wie man auf die Aussage [mm] $\lVert y'T\rVert\leq\lVert y'\rVert\lVert T\rVert$ [/mm] kommt. Ist das irgendwie Cauchy-Schwarz? Gibt es es da so eine Aussage für zwei Operatoren?)

Zeige nun, dass auch [mm] $\leq$ [/mm] gilt.
Nach Hahn-Banach ex. [mm] $y'\in [/mm] Y'$ mit [mm] $y'(Tx)=\lVert Tx\rVert$ [/mm] und [mm] $\lVert y'\rVert=1$; [/mm] das wird gleich benötigt:

[mm] $\lVert T\rVert=\sup\limits_{\lVert x\rVert\leq 1}\lVert Tx\rVert=\sup\limits_{\lVert x\rVert\leq 1}y'(Tx)\leq\sup\limits_{\lVert x\rVert\leq 1}\sup\limits_{\lVert y'\rVert\leq 1}\lvert y'(Tx)\rvert$ [/mm]

Nun kann man in diesem Fall die Suprema "tauschen", also es geht weiter mit

[mm] $=\sup\limits_{\lVert y'x\rVert\leq 1}\sup\limits_{\lVert x\rVert\leq 1}\lvert y'(Tx)\rvert=\sup\limits_{\lVert y'\rVert\leq 1}\lVert y'T\rVert=\sup\limits_{\lVert y'\rVert\leq 1}\lVert T'y'\rVert=\lVert T'\rVert$ [/mm]

Insgesamt gilt also die Identität.

--------------------

2.) Zu der Linearität:

[mm] $T'y'(\alpha x_1+\beta x_2)=y'(T(\alpha x_1+\beta x_2))$ [/mm]

Wegen der Linearität von $T$ gilt

[mm] $=y'(\alpha T(x_1)+\beta T(x_2))$ [/mm]

Wegen der Linearität von $y'$ geht es weiter mit

[mm] $=\alpha y'(Tx_1)+\beta y'(Tx_2)=\alpha T'y'(x_1)+\beta T'y'(x_2)$ [/mm]

---------------------------

3.) Zu der Stetigkeit: Zu zeigen ist doch, dass es eine Konstante $C>0$ gibt, sodass [mm] $\lVert T'y'\rVert\leq C\cdot\lVert y'\rVert$. [/mm] Das habe ich mir so vorgestellt:

[mm] $\lVert T'y'\rVert [/mm] = [mm] \lVert y'T\rVert\leq\lVert y'\rVert\lVert T\rVert$ [/mm] und ist nicht nun, da $T$ beschränkter Operator sein soll [mm] $\lVert T\rVert <\infty$ [/mm] und damit die hier gesuchte Konstante $C$?

-------------------------

4.) Was muss ich für die Wohldefiniertheit zeigen? Ich kann damit gerade nichts anfangen...





Vielen Dank für das Durchlesen.

mikexx

        
Bezug
adjungierter Operator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:03 Fr 26.10.2012
Autor: fred97


> Sei [mm]T\colon X\to Y[/mm] ein beschränkter Operator zwischen
> Banachräumen [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] und [mm]X'[/mm], [mm]Y'[/mm] sind die jeweiligen
> Dualräume. Man definiert den adjungierten Operator
> [mm]T'\colon Y'\to X'[/mm] von [mm]T[/mm] durch
>  
> [mm]T'y'(x)=y'(Tx)[/mm].
>  
> Zeigen Sie, dass [mm]T'[/mm] wohldefiniert, linear und stetig ist
> und dass [mm]\lVert T\rVert=\lVert T'\rVert[/mm] (Hinweis: Für
> [mm]\lVert T\rVert\leq\lVert T'\rVert[/mm] wenden Sie Hahn-Banach
> an.)
>  Hallo! Ich habe mich daran versucht und schreibe mal das
> auf, was ich habe.
>  
> 1.) Zu der Identität [mm]\lVert T\rVert =\lVert T'\rVert[/mm]:
>  
> Zeige zunächst, dass [mm]\geq[/mm] gilt.
>  
> [mm]\lVert T'\rVert=\sup\limits_{\lVert y'\rVert\leq 1}\lVert T'y'\rVert=\sup\limits_{\lVert y'\rVert\leq 1}\lVert y'T\rVert\leq\underbrace{\sup\limits_{\lVert y'\rVert\leq 1}\lVert y'\rVert}_{\leq 1}\lVert T\rVert\leq\lVert T\rVert[/mm]

Das ist O.K. Aber vorher solltes Du die Stetigkeit und Linearität von T' zeigen, denn sonst kannst Du nicht von ||T'|| reden.

>  
> (Ich habe es zwar verwendet, aber weiß nicht mehr genau,
> wie man auf die Aussage [mm]\lVert y'T\rVert\leq\lVert y'\rVert\lVert T\rVert[/mm]
> kommt. Ist das irgendwie Cauchy-Schwarz? Gibt es es da so
> eine Aussage für zwei Operatoren?)

Ja: sind X,Y,Z normierte Räume und sind T:X [mm] \to [/mm] Y und S:Y [mm] \to [/mm] Z stetige lineare Operatoren ,

so gilt für die Verkettung S [mm] \circ [/mm] T:

    $||S [mm] \circ [/mm] T|| [mm] \le [/mm] ||S||*||T||$


>  
> Zeige nun, dass auch [mm]\leq[/mm] gilt.
>  Nach Hahn-Banach ex. [mm]y'\in Y'[/mm] mit [mm]y'(Tx)=\lVert Tx\rVert[/mm]
> und [mm]\lVert y'\rVert=1[/mm]; das wird gleich benötigt:
>  
> [mm]\lVert T\rVert=\sup\limits_{\lVert x\rVert\leq 1}\lVert Tx\rVert=\sup\limits_{\lVert x\rVert\leq 1}y'(Tx)\leq\sup\limits_{\lVert x\rVert\leq 1}\sup\limits_{\lVert y'\rVert\leq 1}\lvert y'(Tx)\rvert[/mm]

Nein , so nicht das y' hängt doch von x ab !

Mach es so:

Sei x [mm] \in [/mm] X. Dann gibt es nach Hahn Banach ein y' [mm] \in [/mm] Y' mit

    ||y'||=1 und y'(Tx)=||Tx||.

Dann folgt: $||Tx||=|y'(Tx)|=|(T'y')(x)| [mm] \le [/mm] ||T'y'||*||x|| [mm] \le [/mm] ||T'||*||y'||*||x||=||T'||*||x||$

Damit ist ||T|| [mm] \le [/mm] ||T'||

>  
> Nun kann man in diesem Fall die Suprema "tauschen", also es
> geht weiter mit
>  
> [mm]=\sup\limits_{\lVert y'x\rVert\leq 1}\sup\limits_{\lVert x\rVert\leq 1}\lvert y'(Tx)\rvert=\sup\limits_{\lVert y'\rVert\leq 1}\lVert y'T\rVert=\sup\limits_{\lVert y'\rVert\leq 1}\lVert T'y'\rVert=\lVert T'\rVert[/mm]
>  
> Insgesamt gilt also die Identität.
>  
> --------------------
>  
> 2.) Zu der Linearität:
>  
> [mm]T'y'(\alpha x_1+\beta x_2)=y'(T(\alpha x_1+\beta x_2))[/mm]
>  
> Wegen der Linearität von [mm]T[/mm] gilt
>  
> [mm]=y'(\alpha T(x_1)+\beta T(x_2))[/mm]
>  
> Wegen der Linearität von [mm]y'[/mm] geht es weiter mit
>  
> [mm]=\alpha y'(Tx_1)+\beta y'(Tx_2)=\alpha T'y'(x_1)+\beta T'y'(x_2)[/mm]
>  

Nee, das ist Kappes !  Zeigen sollst Du:

    [mm] T'(\alpha y_1'+ \beta y_2')= \alpha T'y_1'+ \beta T'y_2' [/mm]


> ---------------------------
>  
> 3.) Zu der Stetigkeit: Zu zeigen ist doch, dass es eine
> Konstante [mm]C>0[/mm] gibt, sodass [mm]\lVert T'y'\rVert\leq C\cdot\lVert y'\rVert[/mm].
> Das habe ich mir so vorgestellt:
>  
> [mm]\lVert T'y'\rVert = \lVert y'T\rVert\leq\lVert y'\rVert\lVert T\rVert[/mm]
> und ist nicht nun, da [mm]T[/mm] beschränkter Operator sein soll
> [mm]\lVert T\rVert <\infty[/mm] und damit die hier gesuchte
> Konstante [mm]C[/mm]?

Ja, und damit hast Du auch: ||T'|| [mm] \le [/mm] ||T||

>
> -------------------------
>  
> 4.) Was muss ich für die Wohldefiniertheit zeigen? Ich
> kann damit gerade nichts anfangen...

Für x [mm] \in [/mm] X ist Tx [mm] \in [/mm] Y und y' ist ein stetiges lineares Funktional auf Y, damit ist y'(Tx) definiert.

FRED

>  
>
>
>
>
> Vielen Dank für das Durchlesen.
>  
> mikexx


Bezug
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