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| Aufgabe | i) Wir nennen zwei Matrizen $A$ und $B$ ähnlich (zu schreiben als $A [mm] \sim [/mm] B$), wenn es eine invertierbare Matrix $Q$ gibt mit [mm] $Q^{-1}AQ=B$. [/mm] Beweise für quadratische $A$, dass $A = [mm] \lambda*I$, [/mm] wenn $A [mm] \sim \lambda*I$. $\lambda*I$ [/mm] ist hierbei eine Skalarmatrix mit [mm] $\lambda$ [/mm] auf der Diagonalen.
ii) Zeige, dass eine diagonalisierbare Matrix mit nur einem Eigenwert eine Skalarmatrix ist. |
Hey :)
Zur ersten Teilaufgabe muss ich sagen, dass ich auf dem Schlauch stehe. Ich hatte mir irgendwas dahingehend überlegt, dass $A$ und [mm] $\lambda*I$ [/mm] dasselbe charakteristische Polynom haben, aber das heißt ja nicht, dass die Matrizen gleich sind, oder? Hier bitte ich also um Ratschläge.
Bei der zweiten Teilaufgabe nehme ich an, dass [mm] $A=\lambda*I$, [/mm] wenn $A [mm] \sim \lambda*I$, [/mm] schon bewiesen ist.
Wenn eine Matrix nur einen Eigenwert hat, steht auf der rechten Seite der Gleichung [mm] $Q^{-1}AQ=\lambda*I$ [/mm] eine Diagonalmatrix mit nur diesem Eigenwert auf der Diagonalen. Es gilt also, dass $A$ und [mm] $\lambda*I$ [/mm] ähnlich sind. Und wie in der vorigen Aufgabe bewiesen ist, gilt dann, dass [mm] $A=\lambda*I$ [/mm] und damit, dass $A$ eine Skalarmatrix ist.
Geht das so?
Liebe Grüße.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 Mi 04.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> i) Wir nennen zwei Matrizen [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] ähnlich (zu schreiben
> als [mm]A \sim B[/mm]), wenn es eine invertierbare Matrix [mm]Q[/mm] gibt mit
> [mm]Q^{-1}AQ=B[/mm]. Beweise für quadratische [mm]A[/mm], dass [mm]A = \lambda*I[/mm],
> wenn [mm]A \sim \lambda*I[/mm]. [mm]\lambda*I[/mm] ist hierbei eine
> Skalarmatrix mit [mm]\lambda[/mm] auf der Diagonalen.
> ii) Zeige, dass eine diagonalisierbare Matrix mit nur
> einem Eigenwert eine Skalarmatrix ist.
> Hey :)
>
> Zur ersten Teilaufgabe muss ich sagen, dass ich auf dem
> Schlauch stehe. Ich hatte mir irgendwas dahingehend
> überlegt, dass [mm]A[/mm] und [mm]\lambda*I[/mm] dasselbe charakteristische
> Polynom haben, aber das heißt ja nicht, dass die Matrizen
> gleich sind, oder? Hier bitte ich also um Ratschläge.
$ A [mm] \sim \lambda\cdot{}I [/mm] $ bedeutet doch: es gibt eine invertierbare Matrix $Q$ mit
(*) $ [mm] Q^{-1}AQ=\lambda\cdot{}I [/mm] $
Multipliziere nun in der Gleichung (*) von links mit $Q$. In der resultierenden Gleichung multiplizierst Du dann von rechts mit [mm] Q^{-1} [/mm] und schaust, was passiert.
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> Bei der zweiten Teilaufgabe nehme ich an, dass [mm]A=\lambda*I[/mm],
> wenn [mm]A \sim \lambda*I[/mm], schon bewiesen ist.
>
> Wenn eine Matrix nur einen Eigenwert hat, steht auf der
> rechten Seite der Gleichung [mm]Q^{-1}AQ=\lambda*I[/mm] eine
> Diagonalmatrix mit nur diesem Eigenwert auf der Diagonalen.
> Es gilt also, dass [mm]A[/mm] und [mm]\lambda*I[/mm] ähnlich sind. Und wie
> in der vorigen Aufgabe bewiesen ist, gilt dann, dass
> [mm]A=\lambda*I[/mm] und damit, dass [mm]A[/mm] eine Skalarmatrix ist.
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> Geht das so?
Ja
FRED
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> Liebe Grüße.
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Danke für deine Antwort.
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> [mm]A \sim \lambda\cdot{}I[/mm] bedeutet doch: es gibt eine
> invertierbare Matrix [mm]Q[/mm] mit
>
> (*) [mm]Q^{-1}AQ=\lambda\cdot{}I[/mm]
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> Multipliziere nun in der Gleichung (*) von links mit [mm]Q[/mm]. In
> der resultierenden Gleichung multiplizierst Du dann von
> rechts mit [mm]Q^{-1}[/mm] und schaust, was passiert.
>
Dann erhalte ich
[mm] $A=Q(\lambda I)Q^{-1}=\lambda QIQ^{-1}=\lambda QQ^{-1}=\lambda [/mm] I$.
Wenn die Rechenschritte stimme, müsste das sein, was ich suche, oder?
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Mi 04.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine Antwort.
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> >
> > [mm]A \sim \lambda\cdot{}I[/mm] bedeutet doch: es gibt eine
> > invertierbare Matrix [mm]Q[/mm] mit
> >
> > (*) [mm]Q^{-1}AQ=\lambda\cdot{}I[/mm]
> >
> > Multipliziere nun in der Gleichung (*) von links mit [mm]Q[/mm]. In
> > der resultierenden Gleichung multiplizierst Du dann von
> > rechts mit [mm]Q^{-1}[/mm] und schaust, was passiert.
> >
>
> Dann erhalte ich
>
> [mm]A=Q(\lambda I)Q^{-1}=\lambda QIQ^{-1}=\lambda QQ^{-1}=\lambda I[/mm].
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> Wenn die Rechenschritte stimme, müsste das sein, was ich
> suche, oder?
Alles O.K.
FRED
>
> Liebe Grüße.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 Mi 04.02.2015 | | Autor: | MeMeansMe |
Super, danke :)
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