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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Do 04.05.2006 | | Autor: | Sherin |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und seien A und B Matrizen in M (n,K). Wenn die charakteristischen Polynome von A und B über K vollständig in Linearfaktoren zerfallen, und wenn wir alle Nullstellen dieser Polynome kennen, so können wir die Jordan Normalform von A und B bestimmen und können dann entscheiden, ob A und B ähnlich sind.
Es gibt aber auch ein anderes Verfahren, welches uns erlaubt, die Frage nach der Ähnlichkeit von A und B zu entscheiden. Dieses Verfahren funktioniert für beliebige Körper K. Man braucht dafür nicht die Nullstellen von den chrakteristischen Polynomen zu bestimmen und es ist auch nicht notwendig, dass die charakteristischen Polynome über K vollständig in Linearfaktoren zerfallen.
Beschreibe ein solches Verfahren und wende es auf ein aussagekräftiges Beispiel an (mindestens 4 x 4 Matrizen) |
Hallo ihr Lieben,
ich habe schon in zig Büchern geguckt, aber ich finde einfach kein Verfahren um die Ähnlichkeit von Matrizen zu überprüfen ohne das ich die JNF dafür berechne. Der Hinweis zu der Aufgabe war auch, dass man in die Bibliothek geht, aber leider habe ich da gar nichts gefunden. Das einzige was ich irgendwann mal gelesen habe ist, dass zwei Matrizen A und B ähnlich sind genau dann wenn die zugehörigen charakteristischen Matrizen äquivalent sind. Aber wie kann ich denn überprüfen, ob die charakteristische Matrizen äquivalent sind? Muss ich das dann wieder mit der Definition von äquivalenten Matrizen machen? Kann damit noch net so viel anfangen..
Wäre euch echt dankbar für Tipps!
Lg,
Sherin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 Do 04.05.2006 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen!
Zwei Matrizen A,B [mm] \in K^{n \times n} [/mm] sind ähnlich, wenn eine reguläre Matrix S [mm] \in K^{n \times n} [/mm] existiert, sodass gilt [mm] B=S^{-1}*A*S. [/mm] Nun besteht der Trick darin, solch ein S zu finden, damit die Gleichung erfüllt ist.
Außerdem gilt, dass ähnliche Matrizen das gleiche charakteristische Polynom haben. Also reicht es auch aus,dies zu überprüfen.
(Die Umkehrung dieses Satzes gilt jedoch nicht!)
liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Do 04.05.2006 | | Autor: | Sherin |
Erstmal vielen Dank für deine schnelle antwort!!
> Zwei Matrizen A,B [mm]\in K^{n \times n}[/mm] sind ähnlich, wenn
> eine reguläre Matrix S [mm]\in K^{n \times n}[/mm] existiert,
> sodass gilt [mm]B=S^{-1}*A*S.[/mm]
Hat diese Definition was mit der Jordan Normalform zu tun oder ist das unabhängig davon, sodass ich jetzt einfach bei zwei 4x4 Matrizen schauen könnte, ob solch ein S existiert?
> Außerdem gilt, dass ähnliche Matrizen das gleiche
> charakteristische Polynom haben. Also reicht es auch
> aus,dies zu überprüfen.
Das heißt, es würde auch reichen, wenn ich jetzt 2 Matrizen nehme, das charakteristische Polynom berechne, es vereinfache und einfach schaue, ob die charakteristischen Polynome gleich sind? Wenn das wirklich so klappt, dann wäre es ja echt einfach, oder?
Lg,
Sherin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 Do 04.05.2006 | | Autor: | Franzie |
Also die Definition hat nichts mit der Jordanschen Normalform zu tun. Die hatten wir im Rahmen von linearen Abbildungen. Aber so ein S zu finden, ist äußerst aufwendig.
Aber ich hab grad bemerkt, dass es ja heißt, dass ähnliche Matrizen das gleiche charakteristische Polynom haben, d.h. das funktioniert nur, wenn du bereits weißt, dass die beiden Matrizen ähnlich sind. Dann musst du doch versuchen, so ein S zu finden.
liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Do 04.05.2006 | | Autor: | Sherin |
Ach ja stimmt, d.h. wenn ich jetzt nachschaue ob die charakteristischen Polynome gleich sind, bringt mir das nichts, da ich dadurch nicht schließen kann, dass die Matrizen ähnlich sind.. Also bleibt mir nur der Weg, dass ich solch ein S finde, ne? Dies kann ich ja nur durch ein gleichungssystem machen, aber das ist ja bei einer 4 x 4 Matrix ziemlich aufwendig..
Dennoch: Danke Franzie für deine Hilfe!!
Gibt es da nicht noch ein anderen Weg? Es muss doch noch ein anderen Weg geben, oder? Bei einer 4 x 4 Matrix ist das schon ziemlich aufwendig, aber bei noch größeren Matrizen ist es ja gar nicht machbar, oder? Kann man nichts damit machen, dass A ähnlich zu B ist genau dann wenn die charakteristischen Matrizen äquivalent sind.. Wie kann ich die ähnlichkeit von matrizen denn überprüfen? Vielleicht geht es auch gar net mit der aussage..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Do 04.05.2006 | | Autor: | Jan_Z |
hallo sherin,
du möchtest ja prüfen, es eine matrix [mm] $S\in GL_{n}(\mathbb{K})$ [/mm] gibt, sodass [mm] $S^{-1}AS=B$ [/mm] bzw. $AS=SB$ bzw. $AS-SB=0$ lösbar ist. Nun kannst du letztere Gleichung auffassen als homogenes Gleichungssystem, wobei die Variablen die [mm] $n^2$ [/mm] Koeffizienten der Matrix S sind. Das Gleichungssystem besteht aus [mm] $n^2$ [/mm] einzelnen Gleichungen der Form [mm] $\sum_{j=0}^{n}(a_{ij}s_{jk}-s_{ij}b_{jk})=0$. [/mm] Eigentlich müsstest du nun nur testen, ob das Gleichungssystem lösbar ist. Du hast zwar im Fall $n=4$ schon ein [mm] $16\times16$-Gleichungssystem, [/mm] aber in jeder Zeile der Koeffizientenmatrix sind nur 4 Einträge [mm] $\neq0$, [/mm] also müsste man das schon noch hinkriegen können.
Ich hoffe es hilft dir!
Viele Grüße,
Jan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Do 04.05.2006 | | Autor: | Sherin |
Oh ja, danke, dass hilft mir schon sehr weiter, habs so versucht.. ist halt schon bisschen aufwendig, aber es geht auf jeden fall!
Aber gibt es denn noch ne Methode, wo man zwar mit dem charakteristischen polynom arbeitet, aber nicht die Nullstellen und so berechnen muss? Denke in diese Richtung, da das ja in der Aufgabe steht, dass man bei dem verfahren nicht die nullstellen berechnen muss und das charakteristische polynom auch nicht in Linearfaktoren zerfallen muss.. daher wird es ja irgendwas mit dem charakteristischem polynom zu tun haben, oder?
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Hi Sherin!
Das Verfahren das du suchst steht im "Lorenz - Lineare Algebra II" auf Seite 155. (Satz 5 "Frobenius'sche Normalform")
Für diese Normalform muss man das charakteristische Polynom nicht vollständig in Linearfaktoren zerlegt haben.
Gruß Morten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:15 Do 04.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> du möchtest ja prüfen, es eine matrix [mm]S\in GL_{n}(\mathbb{K})[/mm]
> gibt, sodass [mm]S^{-1}AS=B[/mm] bzw. [mm]AS=SB[/mm] bzw. [mm]AS-SB=0[/mm] lösbar
> ist. Nun kannst du letztere Gleichung auffassen als
> homogenes Gleichungssystem, wobei die Variablen die [mm]n^2[/mm]
> Koeffizienten der Matrix S sind. Das Gleichungssystem
> besteht aus [mm]n^2[/mm] einzelnen Gleichungen der Form
> [mm]\sum_{j=0}^{n}(a_{ij}s_{jk}-s_{ij}b_{jk})=0[/mm]. Eigentlich
> müsstest du nun nur testen, ob das Gleichungssystem lösbar
> ist.
Nein, das reicht nicht! Erstens tuts die Nullmatrix fuer $S$ immer. Und selbst wenn du eine Loesung ungleich der Nullmatrix hast: Dies bedeutet noch lange nicht, dass die Matrix auch invertierbar (regulaer) ist!!! Irgendeine nicht-triviale Matrix $S$ zu finden ist auch oft moeglich, wenn die Matrizen nicht aehnlich sind!
LG Felix
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