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Diese Frage habe ich in keinem anderem Forum bereits gestellt.
Hi Leute,
laut meiner Vorlesung gilt: Ähnliche Matrizen haben dasselbe charakteristische Polynom und damit dieselbe Determinante, Spur und dieselben Eigenwerte.
Was ist mit dem Umkehrschluß? Meiner Meinung nach müsste der falsch sein.
Zwei Matrizen mit dem gleichen charakteristischen Polynom, den gleichen Eigenwerten, der gleichen Spur und derselben Determinante müssen nicht unbedingt ähnlich zu einander sein. Richtig???
Tausend Dank für eure Hilfe.
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Mi 06.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Professor!
Das ist absolut richtig!
Zwei Matrizen, die das gleiche charakteristische Polynom haben, müssen nicht ähnlich zueinander sein.
Es gilt sogar:
Zwei Matrizen, die das gleiche Minimalpolynom haben, müssen nicht ähnlich zueinander sein.
Man kann anhand des Minimalpolynoms alleine i.A. keine eindeutige Aussage über die Jordansche Normalform (und damit die Ähnlichkeitsklasse (=Konjugationsklasse)) machen.
Liebe Grüße
Julius
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Hallo Julius, hallo Lars,
tausend Dank, dass ihr meine Vermutung bestätigt habt und ich gegenüber meinen Studienkollegen recht hatte. Damit geht man mit viel mehr Selbstvertrauen in die Prüfung am Montag.
Nun kommt aber eine neue Frage von mir auf.
Minimalpolynom, hatte wir in unserer lin. Algebra II Vorlesung nicht. Leider, denn anscheinend ist dies eine Elementare Sache. Aufgrund dieses Forums weiß ich, dass es das charakteristische Polynom ist mit der geometrischen VFH als Potenz.
Irgendwie, habe ich das Gefühl, die ganze Ähnlichkeitssache läuft hauptsächlich über diese Jordansche Normalform. Ich weiß, dass in der Jordanschen Normalform die Eigenwerte in der Hauptdiagonalen stehen.
Doch wie lassen sich die Blöcke berechnen??? Außerdem weiß ich auch nicht so ganz, was die Jordansche Normalform aussagt, ich meine, welche Rolle spielt sie im Zusammenhang mit der Ähnlichkeit???
Vielleicht, könnte mir jemand BITTE eine Antwort auf diese beiden Fragen geben.
Tausend Dank schon mal im Voraus!!!
MfG
Martin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 Do 07.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Professor!
Okay, dann ergänze ich eben noch ein Beispiel aus meiner Forenvergangenheit (ich war mir nicht mehr sicher, ob ich es geschrieben hatte  ):
Beispiel
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:05 Mi 06.10.2004 | | Autor: | Gnometech |
Grüße!
Um Deine Vermutung zu untermauern, ein Beispiel:
$ A:= [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0}$ [/mm] und $B := [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0}$.
[/mm]
Die beiden MAtrizen sind natürlich nicht ähnlich, da die einzige Matrix, die ähnlich zur Nullmatrix ist, die Nullmatrix selbst sein kann (wenn der Schluß nicht klar ist - nachfragen!).
Allerdings haben beide Matrizen Spur 0, Determinante 0, 0 als einzigen Eigenwert und das gleiche charakteristische Polynom [mm] $\chi_A [/mm] = [mm] \chi_B [/mm] = [mm] X^2$.
[/mm]
Sie haben allerdings nicht das gleiche Minimalpolynom... Trotzdem erlaubt auch das noch keinen Rückschluß auf die Ähnlichkeit, wie Julius schon bemerkte.
Lars
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