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| Aufgabe | A und die transponierte A sind 2x2 Matrizen.
Zeige, dass A und die transponierte A ähnlich zueinander sind. |
Hi zusammen!
Ich bin es schon wieder. Ich habe eine neue Aufgabe, welche ich zu lösen versuche.. Nur leider komme ich gerade nicht weier. Ich muss wie erwähnt die Ähnlichkeit zeigen. Das heisst ja, dass die beiden Matrizen die gleiche lin. Abb. mit unterschiedlichen Basen darstellen. Nur komme ich mit Hilfe dieser definition der Ähnlichkeit auf keinen grünen Zweig..
Dann habe ich mir überlegt, die beiden Matrizen haben sicherlich die gleichen Eigenwerte, die gleiche Determinante und den gleichen Rang.. Kann ich so schon auf die Ähnlichkeit schliessen? oder welche Kriterien müssen erfüllt sein um dies zu tun?
Ich weiss, dass die Ähnlichkeit auf die gleichen Determinanten schliessen lässt, aber in die andere Richtung nicht. Gibt es irgendwelche Kriterien, an Hand welcher ich die Ähnlichkeit folgern kann (ausser die Sache mit der lin. Abb?) Oder kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich hier die Basen zu einer lin. Abb finden kann, um diese Definition zu nutzen?
Wäre sehr froh um Tipps!!
Vielen lieben Dank, Grenzwert
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Sa 26.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> A und die transponierte A sind 2x2 Matrizen.
Ueber welchem Koerper? Einem beliebigen? Oder ueber [mm] $\IC$?
[/mm]
> Zeige, dass A und die transponierte A ähnlich zueinander
> sind.
> Hi zusammen!
> Ich bin es schon wieder. Ich habe eine neue Aufgabe,
> welche ich zu lösen versuche.. Nur leider komme ich gerade
> nicht weier. Ich muss wie erwähnt die Ähnlichkeit zeigen.
> Das heisst ja, dass die beiden Matrizen die gleiche lin.
> Abb. mit unterschiedlichen Basen darstellen. Nur komme ich
> mit Hilfe dieser definition der Ähnlichkeit auf keinen
> grünen Zweig..
> Dann habe ich mir überlegt, die beiden Matrizen haben
> sicherlich die gleichen Eigenwerte, die gleiche
> Determinante und den gleichen Rang.. Kann ich so schon auf
> die Ähnlichkeit schliessen? oder welche Kriterien müssen
> erfüllt sein um dies zu tun?
Hattet ihr schon die Jordansche Normalform? Wenn ja, geht das damit ganz einfach: Bei $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrizen ist die JNF schon eindeutig durch charakteristisches Polynom und Dimension der Eigenraeume bestimmt (ueberleg dir warum). Und das ist bei $A$ und [mm] $A^t$ [/mm] jeweils gleich (das ueberleg dir auch mal).
Und zwei Matrizen sind genau dann aehnlich, wenn sie die gleiche JNF haben.
Das klappt allerdings nur, wenn das char. Polynom in Linearfaktoren zerfaellt.
Falls ihr die JNF noch nicht hattet, das char. Polynom aber in Linearfaktoren zerfaellt: Dann hast du zwei Moeglichkeiten: [mm] $p_A(x) [/mm] = (x - [mm] \lambda) [/mm] (x - [mm] \mu)$ [/mm] mit [mm] $\lambda \neq \mu$ [/mm] oder [mm] $p_A(x) [/mm] = (x - [mm] \lambda)^2$. [/mm] Im ersten Fall ist die Matrix diagonalisiserbar, dann bist du schnell fertig.
Im zweiten Fall gibt es zwei Moeglichkeiten: der Eigenraum zum Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] ist zweidimensional (dann ist die Matrix ebenfalls diagonalisierbar, also geht's ebenso), oder er ist eindimensional. Im eindimensionalen Fall musst du etwas tricksen. In dem Fall nimm dir einen zum Eigenraum linear unabhaengigen Vektor $w$. Ueberleg dir, dass $(A - [mm] \lambda E_2) [/mm] w$ ein Eigenvektor sein muss. Setze $v := (A - [mm] \lambda E_2) [/mm] w$. Wie sieht die Matrix bzgl. der Basis $(v, w)$ aus? Das kannst du sowohl fuer $A$ als auch fuer [mm] $A^t$ [/mm] machen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mo 28.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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