Ähnlichkeit, 4x4-Matrizen in Q < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man zeige, daß jede Matrix [mm] $A\in\IQ^{4\times 4}$, [/mm] welche die Gleichung [mm] $A\cdot [/mm] A = A+I$ erfüllt, zu der Matrix
$B$ := [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 }
[/mm]
ähnlich ist. |
Hallo liebes Forum,
Ich komme bei o.g. Aufgabe absolut nicht weiter. Der Vorlesungsstoff bezüglich der Ähnlichkeit von Matrizen beschränkt sich leider hauptsächlich auf deren Definition ... Ansonsten wurden Spur, Determinante sowie charakteristische Gleichung eingeführt, allerdings nur für [mm] $2\times2$-Matrizen! [/mm] :-(
Gehe ich nach Definition der Ähnlichkeit von Matrizen, ist also ein Endomorphismus [mm] \alpha [/mm] von [mm] $\IQ^4$ [/mm] gesucht sowie geordnete Basen $X, X'$ mit [mm] $M_{X,X}(\alpha) [/mm] = A$ und [mm] $M_{X',X'}(\alpha) [/mm] = B$.
Ich würde erstmal die Standardbasis von [mm] $\IQ$ [/mm] für $X'$ vorschlagen.
Nun weiß ich nicht so recht, wie ich $X$ bekomme, und was als [mm] $\alpha$ [/mm] betrachtet werden soll.
Es gilt, wenn man die Gleichung [mm] $A^2 [/mm] = A+I$ umformt in [mm] $A^2 [/mm] - A - I = 0$, für alle [mm] $i,j\in\{1,2,3,4\}$:
[/mm]
[mm] $Z_i(A) [/mm] * [mm] S_j(A) [/mm] - [mm] A_{ij} [/mm] - 1 = 0$ , falls $i = j$
[mm] $Z_i(A) [/mm] * [mm] S_j(A) [/mm] - [mm] A_{ij} [/mm] = 0$ sonst.
Hilft mir aber auch nicht so richtig weiter ..
Kann mir jemand helfen? Vielen lieben Dank für einen hilfreichen Tipp!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:28 Mi 19.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hat niemand einen Tipp parat?
Schade, ich haenge an der Aufgabe immer noch fest :-(
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