ähnlichkeit 5x5 matrizen :-/ < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Di 01.07.2008 | | Autor: | eumel |
| Aufgabe | A, B [mm] \in M_5(K) [/mm] seien nilpotent und es gilt
1) [mm] \mu_A [/mm] = [mm] \mu_B [/mm]
2) dim(Kern(A))=dim(Kern(B))
ZZ: A und B sind ähnlich. Folgere: Man darf auf keine der 2 Bedingungen verzichten! |
hallo auch ^^
also ich hab so angefangen:
A, B nilpotent => [mm] \chi_A=\chi_B=x^5, \lambda_A=\lambda_B=0. [/mm]
mit 1 gilt: [mm] \mu_A [/mm] = [mm] \mu_B [/mm] = [mm] x^r, [/mm] r = 1, .. 5.
mit 2 gilt: dim(kern(A))=dim(<a1,a2,...,am>) = dim(<b1,...,bm>)=dim(kern(B)) , m <=n. mindestens ein element aus dem Kern haben die matrizen A, B gemeinsam, nämlich [mm] \vektor{0\\0\\0\\0\\x},x\in\IR\backslash [/mm] {0}.
der rang einer nilpotenten 5x5 matrix ist ja max 4.
es gilt ja immer: dim(kern(A))+dim(bild(A))=dim(kern(A))+rang(A)=5, dito für B.
kann man sagen, dass wegen 1 gilt, dass A und B den selben rang haben?
nur wie muss ich vorgehen, damit ich zeigen kann, dass die ähnlich sind?
für die ähnlichkeit kenn ich nur:
- T^-1 A T = B
- determinanten/invariantenteiler stimmen überein
nur ich hab echt kein plan wie man beides anwenden kann -.-
lieben gruß und besten dank :)
post scriptum: hab die frage nirgendwo anders gestellt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:53 Di 01.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> A, B [mm]\in M_5(K)[/mm] seien nilpotent und es gilt
> 1) [mm]\mu_A[/mm] = [mm]\mu_B[/mm]
> 2) dim(Kern(A))=dim(Kern(B))
>
> ZZ: A und B sind ähnlich. Folgere: Man darf auf keine der 2
> Bedingungen verzichten!
>
> hallo auch ^^
>
> also ich hab so angefangen:
> A, B nilpotent => [mm]\chi_A=\chi_B=x^5, \lambda_A=\lambda_B=0.[/mm]
> mit 1 gilt: [mm]\mu_A[/mm] = [mm]\mu_B[/mm] = [mm]x^r,[/mm] r = 1, .. 5.
> mit 2 gilt: dim(kern(A))=dim(<a1,a2,...,am>) =
> dim(<b1,...,bm>)=dim(kern(B)) , m <=n.
Sagt dir die Jordansche Normalform was? Wenn ja: wie kann die hier nur aussehen?
> mindestens ein
> element aus dem Kern haben die matrizen A, B gemeinsam,
> nämlich [mm]\vektor{0\\0\\0\\0\\x},x\in\IR\backslash[/mm] {0}.
Das ist immer so.
> der rang einer nilpotenten 5x5 matrix ist ja max 4.
Genau.
> es gilt ja immer:
> dim(kern(A))+dim(bild(A))=dim(kern(A))+rang(A)=5, dito für
> B.
>
> kann man sagen, dass wegen 1 gilt, dass A und B den selben
> rang haben?
Ja.
> nur wie muss ich vorgehen, damit ich zeigen kann, dass die
> ähnlich sind?
> für die ähnlichkeit kenn ich nur:
> - T^-1 A T = B
> - determinanten/invariantenteiler stimmen überein
Invariantenteiler ist vielleicht ein Ansatz, wenn dir die Jordansche Normalform nichts sagt. Versuch doch mal die Invariantenteiler zu bestimmen. (Und die Determinanten, aber die sind einfach.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Mi 02.07.2008 | | Autor: | eumel |
hey :)
also wenn ich mit der jnf argumentieren möchte dann so:
char.pol. [mm] x^5 [/mm] ist die alg. vielfachheit, gibt also die länge des jordanblocks an
mipo liegt ja zwischen [mm] x^2 [/mm] und [mm] x^5 [/mm] (für x hab ich jetzt die nullmatrix ausgeschlossen), somit gibt der exp. vom mipo die länge des größten blocks an. eben durch dim(kern(A)) ist ja die anzahl der kästen im block bestimmt.
da die werte von A und für B aber gleich sind, gilt doch, dass die JNF von beiden gleich ist und mittels einem satzes doch gilt, dass A und B ähnlich sind.
hftl richtig so alles aufgeschrieben ^^
lg
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> hey :)
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> also wenn ich mit der jnf argumentieren möchte dann so:
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> char.pol. [mm]x^5[/mm] ist die alg. vielfachheit, gibt also die
> länge des jordanblocks an
>
> mipo liegt ja zwischen [mm]x^2[/mm] und [mm]x^5[/mm] (für x hab ich jetzt die
> nullmatrix ausgeschlossen), somit gibt der exp. vom mipo
> die länge des größten blocks an. eben durch dim(kern(A))
> ist ja die anzahl der kästen im block bestimmt.
> da die werte von A und für B aber gleich sind, gilt doch,
> dass die JNF von beiden gleich ist und mittels einem satzes
> doch gilt, dass A und B ähnlich sind.
>
> hftl richtig so alles aufgeschrieben ^^
Hallo,
es sieht mir so aus, als hättest Du alles richtig verstanden - ich fürchte allerdings, daß Deine Korrektoren so noch nicht ganz überzeugt sind.
Du mußt hier konkreter auf die 5x5-Matrix eingehen.
Zeigen möchtest Du ja, daß, sofern Minimalpolynome und Kerne von A und B übereinstimmen, die beiden Matrizen ähnlich sind.
Hierzu möchtest Du verwenden, daß ähnliche Matrizen die gleiche JNF haben. Dein Ziel ist es also zu zeigen, daß die beiden JNF gleich sind.
Da nach Voraussetzung die beiden Minimalpolynome gleich sind, stimmt die Länge des größten Jordankästchens bei beiden Matrizen überein.
Hat das größte Jordankästchen die Länge
- 1, so gibt es für die verbleibenden Blöcke nur die Möglichkeit (1,1,1,1)
- 2, so gibt es für die verbleibenden Kästchen die Möglichkeiten ...
- 3, so ...
- 4, so ...
- 5, so ...
Da die beiden Kerne gleich sind, stimmt die Anzahl der Jordankästchen überein, daher...
blöcke
Nun bringe abschließend noch Beispiele dafür, daß man nicht auf eine der Voraussetzungen verzichten kann.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Mi 02.07.2008 | | Autor: | eumel |
also muss ich dann noch hinzufügen:
hat das jordankästchen länge:
1 => blöcke sind (1,1,1,1)
2 => " (1 1, 1, 1), (1, 1 1, 1), (1, 1, 1 1), (1 1, 1 1, 1)
3 => " (1 1 1, 1) oder (1, 1 1 1)
4 => " (1 1 1 1)
wie is das bei 5? da steig ich jetz gerade nicht durch
da die beiden kerne gleich sind, stimmt die anzahl der jordankästchen überein, daher stimmen auch die jordanblöcke überein, bis vllt auf eine unterschiedliche reihenfolge der blöcke.
als beispiel hatte ich einfach (noch nicht für das weglassen einer bedingung) gesagt: oE sei [mm] \mu_{A,B}=x^3, [/mm] def(A)=3 => [mm] J(A)=\pmat{0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0}
[/mm]
würde i) wegfallen, so kann die jnf zu A zwar ebenf. die gleiche blockanzahl (ii) haben, aber die länge des längstens kästchens kann verschieden sein, somit können zb anstatt 3x3, 1x1, 1x1 als blöcke auch 2x2, 2x2, 1x1 auftreten.
fällt ii) weg, so kann die länge vom größten block übereinstimmen, aber die anzahl kann verschieden sein. beispiel dazu dann natürlich schnell aufschreiben,
aber stimmt das soweit?
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Das stimmt soweit. Du hast nur das Problem mit Jordankästchen Größe fünf weil du bei 1 mit (1,1,1,1,1) anfangen musst weil 0 als Eigenwert Vielfachheit 5 hat. Sonst wäre deine JNF ja ne 4x4 Matrix. (Soweit ich deine Notation versehe) Also gäbs erst bei 5 nur ein Kästchen und nicht bei 4 schon.
mfG Michi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Mi 02.07.2008 | | Autor: | hexer85 |
nur ganz kurz eine Zwischenfrage: Du schreibst, die Reihenfolge der Jordankästchen kann unterschiedlich sein. Im JNFKochrezept steht, dass die größten Blöcke immer oben sind. Wie genau stimmts denn jetzt? (Im JNFKochrezept steht auch, dass die einser immer unter der Diagonalen stehen, aber ich hab schon oft von über gelesen, macht das keinen Unterschied?)
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Die Reihenfolge der Jordankästchen innerhalb der Jordanblöcke ist egal. Genauso ist die Reihenfolge der Jordanblöcke egal. Jedoch kann man die Kästchen nicht einfach irgendwo hinschreiben sondern die müssen in ihrem Block (alle Kästchen zu einem Eigenwert) stehen. Tatsächlich macht es auch keinen Unterschied wo die Einsen stehen (dann ist die JNF entweder obere oder untere Dreiecksmatrix) oder ob sie z.B. ein anderes Vorzeichen haben. Dadurch, dass Lorenz in seinem Buch aber [mm] V(\lambda, [/mm] A) := [mm] kern(\lambda* [/mm] E-A) (und nicht kern(A- [mm] \lambda* [/mm] E)) definiert hat ergibt sich, dass die Einsen positiv sind. Die Reihenfolge ist gefordert damit die JNF eindeutig ist.
mfG Michi
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> (Im JNFKochrezept steht
> auch, dass die einser immer unter der Diagonalen stehen,
> aber ich hab schon oft von über gelesen, macht das keinen
> Unterschied?)
Hallo,
ob die Einsen oben oder unten stehen, hängt davon ab, wie man die Vektoren der Jordanbasis anordnet.
In dem Kochrezept würde man die Basisvektoren, die auf S.2, Mitte, angeordnet werden, genau in der anderen Reihenfolge aufschreiben.
Weil ich die JNF mit Einsen oben gelernt habe, und dies vermutlich deshalb als schöner empfinde, mache ich das immer.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:41 Mi 02.07.2008 | | Autor: | hexer85 |
alles klar und danke 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Mi 02.07.2008 | | Autor: | eumel |
also wenn michi sagt, dass ich bissle falsch lag, dann müsste gelten:
sei die länge des größten blocks:
1, dann bleibt ja nur die möglichkeit (1,1,1,1,1)
2, dann bleibt (1 1,1,1,1),....,(1,1,1,1 1) über
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5, dann bleibt nur (1 1 1 1 1) über
stimmt das so?
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Jo ich würde sagen das ist soweit richtig...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Mi 02.07.2008 | | Autor: | eumel |
und noch mal ne frage ^^
[mm] \mu_A=x^r, [/mm] r = 2..5,
rang(A)=r-1
wenn gilt: def(A) + rang(A) = 5
und man darauf verzichtet, dass die minimalpolynome von A und B unterschiedlich sind, also [mm] r_1 \not= r_2 [/mm] aber die Defekte gleich sind, so können doch nur die ränge und die damit verbundenen minimalpolynome gleich sein?!
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Kapier jetzt nicht so ganz was du meinst... ich hab einfach nen Gegenbeispiel gebaut und gesagt [mm] \my_A(x) [/mm] = [mm] X^3 [/mm] . Wenn man (ii) weglässt könnte dann A z.B. zwei Kästchen haben (einmal 2x2, und ein 1x1) und B könnte einfach drei 1x1 haben. Und bei (i) ist klar wenn die dim des Eingeraumes gegeben ist kennt man ja nicht die max größe der Jordankästchen... somit ists nicht eindeutig.
mfG Michi
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