Ähnlichkeit von Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
könnte mir BITTE jemand bei der Lösung des folgenden Problems behilflich sein.
[mm] \pmat{ -1 & 0 & 2 \\ 3 & -1 & 2 \\ 4 & -6 & 0 } [/mm] und [mm] \pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 4 & 0 & 3 \\ 7 & 1 & 2 } [/mm] sind zwei gegebene Matrizen. Wie prüfe ich diese beiden auf Ähnlichkeit?
Achtung: Dies sind zwei frei gewählte Matrizen von mir. Mich interessiert die Prüfungsweise für beliebige Matrizen.
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Gruss!
Was Du da ansprichst ist ein im Allg. recht schwieriges Problem, fuer dessen Loesung die Jordansche Normalform eingefuehrt wurde. Diese klassifiziert Abbildungen / Matrizen bis auf Aehnlichkeit.
Aber es geht oft leichter. Aehnliche Matrizen haben bekanntlich
- die gleiche Determinante
- das gleiche charakteristische Polynom
- das gleiche Minimalpolynom
Rechne in der Reihenfolge diese Dinge aus. Sobald es irgendwo einen Unterschied gibt, koennen die Matrizen nicht mehr aehnlich sein.
Stimmt all dies ueberein, hast Du mit dem char. Polynom und dem Minimalpolynom schon gute Moeglichkeiten an der Hand, die Jordanform auszurechnen, in der man dann endgueltig alles sehen kann.
In Deinem Beispiel hat die linke Matrix eine Determinante von:
$(-1) [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] (-6) + 2 (3 [mm] \cdot [/mm] (-6) - (-1) [mm] \cdot [/mm] 4) = 12 - 36 + 8 = - 16$
Und die andere:
$(-4) [mm] \cdot [/mm] (2 [mm] \cdot [/mm] 2 - 4 [mm] \cdot [/mm] 1) - 3 (1 [mm] \cdot [/mm] 1 - 2 [mm] \cdot [/mm] 7) = 3 [mm] \cdot [/mm] 13 = 39$
Wie man also sofort sind, sind diese Matrizen nicht aehnlich.
Gruss,
Lars
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Hallo,
vielen Dank für diese überaus rasche und ausführliche Hilfe. Nur ein kleines Problem habe ich da noch. In meiner Mathevorlesung kommt der Ausdruck Minimalpolynom gar nicht vor. Was ist das? Gibt es auch ein Maximalpolynom? Sind damit Eigenwerte gemeint?
Servus
Martin
PS: Je mehr man weiß, desto mehr Fragen stellen sich einem!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 Mo 04.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Professor!
Du kennst ja vielleicht den Satz von Cayley-Hamilton
Für das charakteristische Polynom [mm] $CP_A(t)$ [/mm] einer Matrix $A$ gilt:
[mm] $CP_A(A)=0$.
[/mm]
Betrachte nun die Menge aller normierten Polynome $p(t) [mm] \in \IK [/mm] [ t ] $ mit der Eigenschaft $p(A)=0$. Das Polynom mit dem kleinsten Grad aus dieser Menge ist das Minimalpolynom [mm] $MP_A(t)$ [/mm] von $A$. Es teilt das charakteristische Polynom und hat selber keine nicht-trivialen Teiler.
Es gilt also:
(1) [mm] $MP_A(A)=0$,
[/mm]
(2) $p(A)=0 [mm] \quad \Rightarrow \quad MP_A(t)\, \vert\, [/mm] p(t)$.
Ähnliche Matrizen haben das gleiche Minimalpolynom, wie Lars bereits gesagt hat.
Liebe Grüße
Julius
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