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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Di 15.03.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
angenommen, man hat die Dgl.: [mm] $y'=f(\frac{ax+by+c}{ex+fy+d})$ [/mm] und es gelte zudem, dass die Matrix [mm] $\pmat{a & b\\ e & f}$ [/mm] Determinante Null hat. Dann soll bereits gelten [mm] $u'=f(\frac{u}{s})$ [/mm] mit (u(s)). Kann mir das jemand erklären. Der Tipp war Fallunterscheidung und ich habe gedacht, man sagt Zeilen bzw. Spalten sind Vielfache voneinander und guckt dann, aber ich komme zu nichts Nützlichem. Ich dachte halt, es würde sich was wegkürzen, aber dann hat man ja eigentlich direkt was Konstantes.
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:29 Mi 16.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> angenommen, man hat die Dgl.:
> [mm]y'=f(\frac{ax+by+c}{ex+fy+d})[/mm] und es gelte zudem, dass die
> Matrix [mm]\pmat{a & b\\ e & f}[/mm] Determinante Null hat.
Diese Notation ist schlecht, denn f kommt in 2 Bedeutungen vor !
Ich schreibe daher:
(1) [mm]y'=f(\frac{ax+by+c}{\alpha x+\beta y+d})[/mm]
> Dann
> soll bereits gelten [mm]u'=f(\frac{u}{s})[/mm] mit (u(s)). Kann mir
> das jemand erklären.
Ich nicht, denn ich sehe das nicht. Ich sehe das so:
Ist die Det =0. so gilt mit einem [mm] \lambda \in \IR:
[/mm]
[mm] $a=\lambda *\alpha$ [/mm] und [mm] $b=\lambda [/mm] * [mm] \beta$.
[/mm]
Wir setzen $u(x):= [mm] \alpha x+\beta [/mm] y(x)$ und unterscheiden 2 Fälle:
Fall 1: [mm] \beta=0.
[/mm]
Die DGL (1) lautet dann so:
(2) [mm] $y'(x)=f(\bruch{ \lambda \alpha x+c}{\alpha x+d})$
[/mm]
Die rechte Seite hängt also nur von x ab. Mit [mm] $g(x):=f(\bruch{ \lambda \alpha x+c}{\alpha x+d})$ [/mm] gilt also:
y ist eine Lösung von (2) [mm] \gdw [/mm] y ist eine Stammfunktion von g.
Fall 2_ [mm] \beta \ne [/mm] 0.
Aus (1) bekommen wir dann folgende DGL für u (nachrechnen !):
(3) [mm] $u'(x)=\alpha +\beta f(\bruch{ \lambda u+c}{u+d})$
[/mm]
Die DGL (3) kann mit "Trennung der Variablen " gelöst werden.
FRED
> Der Tipp war Fallunterscheidung und
> ich habe gedacht, man sagt Zeilen bzw. Spalten sind
> Vielfache voneinander und guckt dann, aber ich komme zu
> nichts Nützlichem. Ich dachte halt, es würde sich was
> wegkürzen, aber dann hat man ja eigentlich direkt was
> Konstantes.
> Viele Grüße,
> Reynir
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 Do 17.03.2016 | | Autor: | Reynir |
Danke Fred, du hast ir sehr geholfen. :)
Viele Grüße,
Reynir
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