Ähnlichkeitsklassen+Isomorphis < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:04 Fr 10.07.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe 1 | | Wie viele Ähnlichkeitsklassen nilpotenter [mm] 5\times [/mm] 5-Matrizen gibt es? |
| Aufgabe 2 | Es sei P eine invertierbare [mm] n\times [/mm] n-Matrix.
Zu zeigen: Die Abbildung [mm] A\mapsto P^{-1}AP [/mm] ist ein Gruppenisomorphismus [mm] GL(n,K)\rightarrow [/mm] GL(n,K). |
Hallo,
bei der ersten Aufgabe weiß ich garnicht, wie man das rechnen muss. Ist das eine Wissensfrage?
Zu (2)
Soweit ich weiß, muss ich hier einerseits zeigen, dass die Abbildung ein Homomorphismus ist: Das aufgeschrieben sieht allerdings etwas blöd aus, weil vorne und hinten das Gleiche steht, also:
[mm] AB=P^{-1}ABP=P^{-1}AEBP=P^{-1}AP P^{-1}BP=AB. [/mm] Macht man das hier so?
Jetzt müsste man eigentlich noch bijektivität zeigen, sowie dass die Umkehrabbildung ebenso homomorph ist.
Wie zeigt man hier am besten Bijektivität? Injektivität bekomme ich noch selbst hin.
Damit ich das alles machen kann, brauche ich nicht dafür, dass A invertierbar ist.
Außerdem wenn [mm] A\mapsto P^{-1}AP [/mm] eine Abbildung von GL(n,K) nach GL(n,K) beschreiben soll, dann wäre ja A in GL(n,K), also invertierbar, oder nicht? Dann finde ich aber, dass die Aufgabe schlecht gestellt ist.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:11 Fr 10.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wie viele Ähnlichkeitsklassen nilpotenter [mm]5\times[/mm]
> 5-Matrizen gibt es?
>
> Es sei P eine invertierbare [mm]n\times[/mm] n-Matrix.
> Zu zeigen: Die Abbildung [mm]A\mapsto P^{-1}AP[/mm] ist ein
> Gruppenisomorphismus [mm]GL(n,K)\rightarrow[/mm] GL(n,K).
Warum stellst du nicht zwei verschiedene Fragen? Diese beiden Aufgaben sind offensichtlich unabhaengig von einander.
> bei der ersten Aufgabe weiß ich garnicht, wie man das
> rechnen muss. Ist das eine Wissensfrage?
Was weisst du ueber die Jordansche Normalform eines nilpotenten Endomorphismus?
> Zu (2)
> Soweit ich weiß, muss ich hier einerseits zeigen, dass
> die Abbildung ein Homomorphismus ist: Das aufgeschrieben
> sieht allerdings etwas blöd aus, weil vorne und hinten das
> Gleiche steht, also:
> [mm]AB=P^{-1}ABP=P^{-1}AEBP=P^{-1}AP P^{-1}BP=AB.[/mm] Macht man
> das hier so?
Ich wuesste nicht, wraum das erste und das letzte Gleichheitszeichen gelten sollte, ausser fuer irgendwelche Spezialfaelle.
Gib der Abbildung doch erstmal einen Namen, sagen wir [mm] $\phi$. [/mm] Also [mm] $\phi(A) [/mm] = [mm] P^{-1} [/mm] A P$.
Dann musst du zeigen [mm] $\phi(A [/mm] B) = [mm] \phi(A) \phi(B)$. [/mm] Die Rechnung dafuer hast du im Wesentlichen schon oben stehen.
> Jetzt müsste man eigentlich noch bijektivität zeigen,
Genau.
> sowie dass die Umkehrabbildung ebenso homomorph ist.
Wieso das? Das folgt doch automatisch. Das solltet ihr gehabt haben.
> Wie zeigt man hier am besten Bijektivität? Injektivität
> bekomme ich noch selbst hin.
Ja, die ist einfach.
> Damit ich das alles machen kann, brauche ich nicht dafür,
> dass A invertierbar ist.
Nein, brauchst du nicht, aber das brauchst du dafuer dass du einen Gruppenhomomorphismus bekommst und keinen Endomorphismus von Monoiden.
> Außerdem wenn [mm]A\mapsto P^{-1}AP[/mm] eine Abbildung von
> GL(n,K) nach GL(n,K) beschreiben soll, dann wäre ja A in
> GL(n,K), also invertierbar, oder nicht?
Ja.
> Dann finde ich aber, dass die Aufgabe schlecht gestellt ist.
Wieso?
Und nun zur Surjektivitaet. Anstelle das von Hand zu zeigen, gib doch einfach die Umkehrfunktion direkt an! Die ist recht einfach...
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Fr 10.07.2009 | | Autor: | Unk |
> > bei der ersten Aufgabe weiß ich garnicht, wie man das
> > rechnen muss. Ist das eine Wissensfrage?
>
> Was weisst du ueber die Jordansche Normalform eines
> nilpotenten Endomorphismus?
Die hat überall nur Nullen, bis auf die Einträge [mm] a_{i,i+1}, [/mm] diese sind entweder 0 oder 1, wenn [mm] A=(a_{ij})_{ij} [/mm] die entprechende Jordan-Matrix ist.
Und wie komme ich davon auf die Äquivalenzklassen?
>
> > Zu (2)
> Und nun zur Surjektivitaet. Anstelle das von Hand zu
> zeigen, gib doch einfach die Umkehrfunktion direkt an! Die
> ist recht einfach...
>
Ich habe jetzt [mm] \phi^{-1}(A)=PAP^{-1}.
[/mm]
Dann gilt: [mm] \phi(\phi^{-1}(A))=A [/mm] und [mm] \phi^{-1}(\phi(A))=A, [/mm] also Bijektivität.
Damit wäre ich dann fertig?
> LG Felix
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:12 Sa 11.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > > bei der ersten Aufgabe weiß ich garnicht, wie man das
> > > rechnen muss. Ist das eine Wissensfrage?
> >
> > Was weisst du ueber die Jordansche Normalform eines
> > nilpotenten Endomorphismus?
>
> Die hat überall nur Nullen, bis auf die Einträge
> [mm]a_{i,i+1},[/mm] diese sind entweder 0 oder 1, wenn
> [mm]A=(a_{ij})_{ij}[/mm] die entprechende Jordan-Matrix ist.
> Und wie komme ich davon auf die Äquivalenzklassen?
Ok, noch ein Stichwort: Partitionen. Sagt dir das was?
> > > Zu (2)
> > Und nun zur Surjektivitaet. Anstelle das von Hand zu
> > zeigen, gib doch einfach die Umkehrfunktion direkt an! Die
> > ist recht einfach...
> >
>
> Ich habe jetzt [mm]\phi^{-1}(A)=PAP^{-1}.[/mm]
Ja. Aber nenn das erstmal [mm] $\psi$ [/mm] oder so, und zeigt dass [mm] $\phi \circ \psi$ [/mm] und [mm] $\psi \circ \phi$ [/mm] die Identitaet sind:
> Dann gilt: [mm]\phi(\phi^{-1}(A))=A[/mm] und [mm]\phi^{-1}(\phi(A))=A,[/mm]
> also Bijektivität.
> Damit wäre ich dann fertig?
Ja.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Sa 11.07.2009 | | Autor: | Unk |
> Ok, noch ein Stichwort: Partitionen. Sagt dir das was?
Achso, es gäbe 7 mögliche Partitionen einer [mm] 5\times [/mm] 5 Matrix, nämlich p=(5),p=(4,1),...,p=(1,1,1,1,1).
Sind das dann einfach die Ähnlichkeitsklassen, also 7 Stück?
|
|
|
| |
|
Hallo,
ja, genau.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
