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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:58 So 16.06.2013 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | Bestimme je einen Repräsentanten aller Ähnlichkeitsklassen von invertiebaren 3x3-Matrizen über [mm] F_2. [/mm] |
Hallo!
Zwei Matrizen A und B heißen ja ähnlich, wenn es eine invertiebare Matrix S gibt, sodass B= [mm] S^{-1}AS. [/mm] Allerdings weiß ich gar nicht, wie ich hier systematisch suchen soll...
Ich habe z.B. folgende invertiebare Matrizen über [mm] F_2 [/mm] gefunden:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }, \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }, \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }, \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }, \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 }. [/mm]
Aber das sind ja bestimmt nicht alle... Und wie stelle ich fest, ob sie nicht zur selben Ähnlichkeitsklasse gehören? Zum Beispiel haben ja die 1., 3., und 5. Matrix, die ich hier geschrieben habe, dieselben Eigenwerte, müssten also ähnlich sein, oder?
Danke schonmal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:35 So 16.06.2013 | | Autor: | rollroll |
Hallo nochmal, ich waere echt froh wenn mich jemand bei dieser Aufgabe unterstützten könnte... Danke schonmal
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Hallo,
> Bestimme je einen Repräsentanten aller
> Ähnlichkeitsklassen von invertiebaren 3x3-Matrizen über
> [mm]F_2.[/mm]
> Hallo!
>
> Zwei Matrizen A und B heißen ja ähnlich, wenn es eine
> invertiebare Matrix S gibt, sodass B= [mm]S^{-1}AS.[/mm] Allerdings
> weiß ich gar nicht, wie ich hier systematisch suchen
> soll...
>
> Ich habe z.B. folgende invertiebare Matrizen über [mm]F_2[/mm]
> gefunden:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }, \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }, \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }, \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }, \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 }.[/mm]
> Aber das sind ja bestimmt nicht alle...
Edit: Hier war ein Rechenfehler: Es gibt insgesamt [mm] $7\cdot 6\cdot [/mm] 4$ Matrizen in [mm] $Gl(3,\mathbb F_2)$
[/mm]
> Und wie stelle ich
> fest, ob sie nicht zur selben Ähnlichkeitsklasse gehören?
> Zum Beispiel haben ja die 1., 3., und 5. Matrix, die ich
> hier geschrieben habe, dieselben Eigenwerte, müssten also
> ähnlich sein, oder?
Nein, ähnliche Matrizen haben die selben Eigenwerte, die Umkehrung gilt nicht. Die Einheitsmatrix ist zu keiner anderen Matrix ähnlich.
Du solltest hier geeignete Invarianten betrachten (wie z.B. Eigenwerte, gibt aber noch andere Kandidaten) um zu zeigen, dass bestimmte Matrizen nicht ähnlich sein können. Das liefert dir eine Zerlegung in Mengen potentiell ähnlicher Matrizen. Diese kann man ggf. einzeln auf Ähnlichkeit überprüfen.
> Danke schonmal!
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 So 16.06.2013 | | Autor: | rollroll |
Hallo. Danke schonmal.
Wie kommst du denn auf die Anzahl der invertierbaren Matrizen über [mm] F_2 [/mm] ?
heißt dass, wenn die Matrizen verschiedene EW haben, dann sind sie nicht ähnlich. Wenn sie dieselben EW haben, können, müssen die Matrizen aber nicht ähnlich sein. Habe ich das richtig verstanden?
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> Hallo. Danke schonmal.
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> Wie kommst du denn auf die Anzahl der invertierbaren
> Matrizen über [mm]F_2[/mm] ?
Es gibt eine schöne Formel: |Gl(n, [mm] \mathbb F_q|= \prod _{i=0}^{n-1}(q^n-q^i).
[/mm]
Jeder Faktor steht dabei für die Anzahl zulässigen (sprich von den Spalten davor unabhängigen) i-ten Spalten.
> heißt dass, wenn die Matrizen verschiedene EW haben, dann
> sind sie nicht ähnlich. Wenn sie dieselben EW haben,
> können, müssen die Matrizen aber nicht ähnlich sein.
> Habe ich das richtig verstanden?
Ja.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Mi 19.06.2013 | | Autor: | rollroll |
Hallo nochmal.
Ich habe immernoch das Problem, dass ich nicht weiß, wie ich systematische die Matrizen auf Ähnlichkeit überprüfen soll - und zwar ohne dass ich alle infrage kommenden invertierbaren Matrizen durchprobieren muss. Hilft evtl die Jordan-Normalform weiter? Allerdings wüsste ich nicht, wie ich sie anwenden sollte...
Über eure Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Gruß
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Hallo nochmal,
bestimme alle möglichen charakteristischen Polynome (es sind 4).
Bestimme alle möglichen Jordan-Normalformen (im alg. Abschluss bzw. einer geigneten Körpererweiterung; Frage: warum dieser Zusatz?) zu dem jeweiligen Polynom.
Welche Jordan-Normalformen sind zueinander ähnlich?
Das liefert eine Menge nicht-ähnlicher Jordanmatrizen.
Für die Jordan-Matrizen die nicht Matrizen über [mm] $\mathbb F_2$ [/mm] sind sucht man nun noch eine ähnliche Matrix aus $Gl(3, [mm] \mathbb F_2)$ [/mm] als Repräsentant bzw. zeigt, dass es keinen solchen gibt (keine Ahnung ob dieser fall eintritt.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Do 20.06.2013 | | Autor: | rollroll |
Also ich habe jetzt über [mm] F_2 [/mm] die folgenden charakteristischen Polynome gefunden:
[mm] x^3
[/mm]
[mm] x^3+x^2
[/mm]
[mm] x^3+x^2+x
[/mm]
[mm] x^3+x^2+x+1
[/mm]
Wie kann ich denn begründen dass das alle sind?
Und als Jordan-Normalformen hab ich in [mm] F_2 [/mm] bisher:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }, \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }, \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Was sagt ihr dazu?
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> Also ich habe jetzt über [mm]F_2[/mm] die folgenden
> charakteristischen Polynome gefunden:
> [mm]x^3[/mm]
> [mm]x^3+x^2[/mm]
> [mm]x^3+x^2+x[/mm]
> [mm]x^3+x^2+x+1[/mm]
>
> Wie kann ich denn begründen dass das alle sind?
Gar nicht, da es falsch ist.
Drei der charakteristischen Polynome sind solche nicht-invertierbarer Matrizen.
Wo findet sich denn die Determinante einer Matrix im char. Polynom wieder?
> Und als Jordan-Normalformen hab ich in [mm]F_2[/mm] bisher:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }, \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }, \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Was sagt ihr dazu?
Selbe wie oben. Es sind drei Matrizen nicht invertierbar. Ferner sind das alles Diagonalmatrizen, was ist mit Jordanmatrizen?
>
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Hallo.
Sitze an einer ähnlichen Aufgabe.
Für den Fall "hier" kommen 4 Polynome in Frage, die in [mm] \IZ [/mm] mod 2 [mm] \IZ [/mm] mit EW [mm] x_0=1 [/mm] einer invertierbaren 3x3 Matrix sind:
[mm] p_1=x^{3}+x^{2}+x+1
[/mm]
[mm] p_k=x^{k}+1, [/mm] mit [mm] k\in{1,2,3}
[/mm]
Dann habe ich mir die möglichen Jordanmatrizen zum EW 1 angeschaut.
Diese sind alle drei Varianten der Jordanmatrix zu EW 1 im oben genannten Körper:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Die Einheitsmatrix ist nur zu sich selbst ähnlich.
Die zwei anderen Matrizen hmmm.
so, jetzt weiss ich nicht wie es weiter geht.
Schonmal danke für eure Zeit.
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Hallo Blätternerd,
deine potentiellen char. Polynome sind falsch. Jedes nxn-Polynom hat ein char. Polynom vom Grad n, d.h. zwei deiner Kandidaten fliegen raus.
Die anderen beiden sind o.k. Es fehlen noch 2 mit EW nicht 1. (die Polynome haben keine NST in [mm] $\mathbb F_2$).
[/mm]
Zu zeigen, dass die Jordanmatrizen nicht ähnlich sind geht wohl am schnellsten über das Minimalpolynom. (ähnliche matrizen haben das selbe Min.pol.)
Oder man zeigt dass
> [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
ähnlich sind genau dann wenn
> [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} -E =\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]und [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1}-E= \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
ähnlich sind, was aus Ranggründen nicht geht.
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