Änderungsrate < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Fr 03.08.2007 | | Autor: | kati93 |
| Aufgabe | Eine Person ist 1,80 m groß. Sie entfernt sich auf einer waagrecht verlaufenden Straße mit der Geschwindigkeit 6 km/h von einer Lichtquelle, die sich in einer Höhe von 3,50 m befindet.
Mit welcher Geschwindigkeit wandert der Schattes des Kopfes auf der Straße entlang |
Die Aufgabe bekomm ich leider überhaupt nicht hin! Hier scheiterts schon an meiner Vorstellungskraft!
Ich versteh schonmal nicht warum der Schatten langsamer oder schneller sein soll, als der Mensch...
Egal: Ich versuch mal zuzuordnen. Kann man das so interpretieren:
der laufende Mensch ist meine Funktion mit P( 0/1,8) und m= 6km/h (Einheiten müssten beim Rechnen natürlich angeglichen werden).
Und ist der Schatten f'(x) zu dem der Punkt Q(3,5 /0) gehört?
Ich hab keine Ahnung! Das ist mehr geraten als sonstwas.... :(
Bin für jede Hilfe dankbar!
Liebe Grüße,
Kati
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Fr 03.08.2007 | | Autor: | Blech |
> Eine Person ist 1,80 m groß. Sie entfernt sich auf einer
> waagrecht verlaufenden Straße mit der Geschwindigkeit 6
> km/h von einer Lichtquelle, die sich in einer Höhe von 3,50
> m befindet.
> Mit welcher Geschwindigkeit wandert der Schattes des
> Kopfes auf der Straße entlang
>
> Die Aufgabe bekomm ich leider überhaupt nicht hin! Hier
> scheiterts schon an meiner Vorstellungskraft!
> Ich versteh schonmal nicht warum der Schatten langsamer
> oder schneller sein soll, als der Mensch...
Wenn Du direkt unter der Laterne stehst, ist dein Schatten direkt unter Dir.
Wenn Du jetzt 5m in irgendeine Richtung gehst, hast Du einen Schatten, der von der Laterne wegzeigt, d.h. der Kopf des Schattens hat einen weiteren Weg zurückgelegt als Du.
Je weiter Du von der Lichtquelle bist, desto länger Dein Schatten.
Du suchst also für jeden Zeitpunkt t die Gerade, die durch (0m ; 3,50m) (die Lichtquelle) und durch (x(t); 1,80m) (der Ort Deines Kopfes zum Zeitpunkt t) geht.
Dann schaust Du, wo diese Gerade in Abhängigkeit von t die x-Achse schneidet (dort ist der Schatten des Kopfes, weil der Schatten auf einer Geraden mit Lichtquelle und Kopf liegt).
Die Funktion für den Schnittpunkt leitest du dann nach t ab und erhältst damit die Geschwindigkeit.
EDIT: Das ganze klang vielleicht ein wenig kompliziert, hier eine Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Du streckst einfach das obere Dreieck.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:46 Sa 04.08.2007 | | Autor: | kati93 |
Wow, die Skizze hab ich ja eben erst gesehn! Danke für deine Mühe!!!!!!!! Bin echt immer wieder aufs neue von diesem Forum begeistert!!!!!!
Ich hab gestern abend mal versucht das mit Hilfe deiner Anleitung zu lösen! Aber ich krieg erst gar nicht die Gerade aufgestellt.
Die Gerade soll ja durch P(0 / 3,5) und Q( t / 1,8) gehen.
Eine Gerade hat ja die Form y= mx + b bzw. f(t) mt + b
So, dann stell ich mit den beiden Punkten jeweils eine Gleichung auf:
I 3,5 = 0m + b
II 1,8 = tm + b
Das ist ja ein normales Gleichungssystem das ich eigentlich lösen können müsste:
I - II 1,7 = -tm
m= [mm] -\bruch{1,7}{t}
[/mm]
folglich wäre b = 3,5
So, dann wollte ich die Geradengleichung aufstellen:
f(t)= mt + b
f(t)= [mm] -\bruch{1,7}{t} [/mm] * t +3,5
Und da hab ich dann erst gemerkt,dass ich irgendwo einen Fehler gemacht hab, denn hier fällt ja mein t weg!
f(f)= -1,7 + 3,5 = 1,8
Das kann ja nicht sein!
Nur weiss ich nicht was ich schon wieder falsch gemacht, bzw falsch verstanden hab.... :(
Liebe Grüße,
Kati
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:01 Sa 04.08.2007 | | Autor: | Andi |
Hi Kati,
> Die Gerade soll ja durch P(0 / 3,5) und Q( t / 1,8) gehen.
Der Punkt Q muss (x(t)/1,8) sein. Denn der Schatten hängt ja zunächst davon ab, wo er steht und nicht wann.
> Eine Gerade hat ja die Form y= mx + b
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> I 3,5 = 0m + b
>
> II 1,8 = tm + b
II: [mm] 1,8=6\bruch{km}{h}*t+b [/mm]
> Das ist ja ein normales Gleichungssystem das ich eigentlich
> lösen können müsste:
Ja ... das kannst du lösen!
> So, dann wollte ich die Geradengleichung aufstellen:
>
> f(t)= mt + b
>
> f(t)= [mm]-\bruch{1,7}{t}[/mm] * t +3,5
>
> Und da hab ich dann erst gemerkt,dass ich irgendwo einen
> Fehler gemacht hab, denn hier fällt ja mein t weg!
Du hast ein anderes Koordinatensystem benutzt.
Ich würde bei y=f(x) bleiben. Also auf der x-Achse den Abstand von dem Lichtpunkt und auf der y-Achse die Höhe.
Die Lösung deines Gleichungssystems gibt dir ja die Geradengleichung für den Schatten an. Die Nullstelle davon gibt dir immer die x-Stelle des Schattens zur Zeit t an. Jetzt kannst du diese Gleichung nach x auflösen und du bekommst dann den Zusammenhang x(t) für den Schatten.
Da könntest du dann durch Ableitung die Geschwindigkeit des Schattens ermitteln. Wobei x(t) eine lineare Funktion und sich somit die Geschwindigkeit auch direkt ablesen lässt.
Ich hoffe, es war ein klein wenig verständlich 
Wenn nicht kannst du dich gerne beschweren und noch mal genauer nachfragen.
Bis dann
Andi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Sa 04.08.2007 | | Autor: | kati93 |
Hallo Andi,
erstmal vielen lieben Dank für deine schnelle Antwort!
"Wenn nicht kannst du dich gerne beschweren und noch mal genauer nachfragen.
Bis dann
Andi "
Du bist ja quasi schon davon ausgegangen,dass ich nochmal nachfragen muss ;)
Muss ich leider auch:
Stimmt meine Geradengleichung soweit?
f(t)= [mm] \bruch{-1,7}{6000}* [/mm] t +3,5 ?
Ist dann [mm] \bruch{-1,7}{6000} [/mm] (in metern) schon meine Geschwindigkeit?
Liebe Grüße,
Kati
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Sa 04.08.2007 | | Autor: | Blech |
> Hallo Andi,
>
> erstmal vielen lieben Dank für deine schnelle Antwort!
>
> "Wenn nicht kannst du dich gerne beschweren und noch mal
> genauer nachfragen.
>
> Bis dann
> Andi "
>
> Du bist ja quasi schon davon ausgegangen,dass ich nochmal
> nachfragen muss ;)
>
> Muss ich leider auch:
>
> Stimmt meine Geradengleichung soweit?
>
> [mm]f(t)= \bruch{-1,7}{6000} t +3,5[/mm] ?
wie kommst Du auf die 6000? Wegen km und m? In dem Fall kommt aber auch noch die Umwandlung h zu s dazu.
Erstmal die wirklich einfache Version, deswegen hab ich auch die Zeichnung gemacht. Der Weg ist mir nur zuerst nicht aufgefallen, weil ich es rein algebraisch gelöst habe =)
Wir haben erstens das Dreieck (0m; 3,5m), (0m; 1,8m), (x(t); 1,8m) (Lampe, Kopf, die Höhe des Kopfes beim Ursprung abgetragen). Das strecken wir nun auf das Dreieck (0m; 3,5m), (0m; 0m), (k*x(t); 0m ).
Was ist k? Das Verhältnis der Seiten unter der Lampe, also: [mm] k = \frac{3,5m - 0m}{3,5m - 1,8m}[/mm]
Was ist die Geschwindigkeit? Die Geschwindigkeit des Kopfes ist [mm]x'(t)= 6 km/h [/mm]; die Geschwindigkeit des Schattens ist die Ableitung nach der Zeit von [mm]k \cdot x(t)[/mm] und das ist: [mm]\frac{d}{dt}k \cdot x(t) = k \cdot x'(t) = k \cdot 6 km/h \approx 12,35 km/h[/mm]
Das gleiche mit der Geradengleichung geht so:
[mm]3,5 = 0 m(t) + b[/mm]
[mm]1,8 = x(t)m(t) + b[/mm]
Ähnlich wie bei Dir oben, Du solltest nur aufpassen, welche Werte von t abhängen und wie. ( [mm]x(t) = 6\, \text{km/h}\cdot \frac{1000\, \text{m/km}}{3600\,\text{s/h}} \cdot t\, \text{s} = \frac{6}{3,6}t\, \text{m}[/mm], statt t)
[mm]\Rightarrow b = 3,5[/mm]
[mm]\Rightarrow m(t) = \frac{-1,7}{x(t)}[/mm]
Jetzt haben wir die Steigung in Abhängigkeit von x(t) und damit in Abhängigkeit von t.
Wir suchen also noch den Schnittpunkt mit der x-Achse in Abhängigkeit von t:
[mm]m(t)\, z(t) + b = 0[/mm]
[mm]z(t) = \frac{-b}{m(t)} = \frac{-b x(t)}{-1,7} = \frac{3,5}{1,7} x(t)[/mm]
Und erhalten daraus die Geschwindigkeit wie oben:
[mm]z'(t)= \frac{3,5}{1,7} x'(t)[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:56 Mo 06.08.2007 | | Autor: | kati93 |
Tut mir leid,dass das jetzt mit meiner Reaktion so lange gedauert hat, aber ich musste warten bis ich ein bisschen Ruhe hab und das nochmal alles durchrechnen und nachvollziehen konnte.
Also den 1.Weg hab ich jetzt verstanden! Auch wenn ich selbst nicht drauf gekommen wäre...
Bei dem algebraischen Weg hab ich noch so meine Schwierigkeiten! Was aber nicht direkt was mit dem Vorgehen an sich zu tun hat, sondern eher damit,dass ich Probleme hatte bzw habe die Verbindungen zwischen m(t), x(t) etc. richtig einzuschätzen und zu verwenden!
Vielen lieben Dank für deine ausführliche Hilfe!!!
Liebe Grüße,
Kati
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:01 Mo 06.08.2007 | | Autor: | kati93 |
| Aufgabe | | Aufgabe habe ich angehängt |
Hier hab ich noch so eine "ähnliche" Aufgabe gefunden, die ich aber auch, obwohl ich gerade so lang an der anderen Aufgabe gesessen habe, nicht direkt lösen könnte!
Im Prinzip ist das doch eine Sinusfunktion oder?
Dann müsste ich doch eigentlich auf das Ergebnis kommen, wenn ich einfach [mm] cos(\bruch{1}{6}) [/mm] bestimme!? Oder mach ich es mir hier wieder zu einfach und überseh das wichtigste?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
> Im Prinzip ist das doch eine Sinusfunktion oder?
Hallo,
das hängt in der Tat eng mit der Sinusfunktion zusammen.
Und zwar ist die Position h des Schattens, aufgetragen über einer Zeitachse, eine Sinunsfunktion.
Die Amplitude beträgt sicher 10cm, also h(t)=10cm*sin(...*t),
bei den Pünktchen kommt die Winkelgeschwindigkeit [mm] \omega [/mm] hin.
Da sich das Gebilde gleichförmig dreht, ist diese konstant.
Wir wissen ja: eine Umdrehung pro Sekunde,
also ist [mm] \omega= \bruch{2\pi}{1s}.
[/mm]
Die momentane Geschwindigkeit ist die Ableitung an der entsprechenden Stelle.
Du mußt nun also [mm] h(t)=10cm*sin(\omega*t) [/mm] nach der Zeit ableiten und erhältst die momentane Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Mo 06.08.2007 | | Autor: | kati93 |
Okay, danke schön Angela!!!! :)
Wenn das jetzt stimmt, dann hab ich verstanden ;)
Rechnung: Momentane Geschwindigkeit = 10* [mm] cos(2\pi*\bruch{1}{6})
[/mm]
Liebe Grüße,
Kati
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Mo 06.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kati!
Wenn Du Deine Funktion mit $y(t) \ = \ [mm] 10*\sin\left(\bruch{2\pi}{T}*t\right) [/mm] \ = \ [mm] 10*\sin\left(\bruch{2\pi}{1}*t\right) [/mm] \ = \ [mm] 10*\sin(2\pi*t)$ [/mm] bezeichnest, musst Du für die Ableitung auch noch die innere Ableitung von [mm] $2\pi*t$ [/mm] berücksichtigen.
$y'(t) \ = \ [mm] 10*\red{2\pi}*\cos(2\pi*t)$
[/mm]
Nun den Wert $t \ = \ [mm] \bruch{1}{6} [/mm] \ [mm] \text{s}$ [/mm] einsetzen und auch den entsprechenden Wert ausrechnen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:39 Mo 06.08.2007 | | Autor: | kati93 |
Alles klar, danke schön!!!
|
|
|
|
