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Forum "Differentiation" - Änderungsrate auf Kreisbahn
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Änderungsrate auf Kreisbahn: Lösungskontrolle
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:54 So 07.02.2021
Autor: MasterEd

Aufgabe
<br>
Ein Punkt bewegt sich entlang des Kreises [mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = [mm] 11^2$ [/mm] so, dass dx/dt=2 cm/min gilt. Bestimme dy/dt an der Stelle (6, [mm] 85^{0.5}). [/mm]



<br>
Hallo,
ich habe mit dem Papula-Werk bereits herausgefunden, dass der Anstieg der Kurventangente durch y'=-x/y beschrieben wird. Wenn ich nun die Koordinaten einsetze, erhalte ich [mm] y'=-6/85^{0.5} [/mm] = -0,651...

Ist dies schon die Lösung? Dabei habe ich ja die Angabe dx/dt=2 nicht berücksichtigt.

        
Bezug
Änderungsrate auf Kreisbahn: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:57 So 07.02.2021
Autor: MasterEd

Habe das falsch formatiert, meine Vorschau funktioniert nicht richtig, da ist jeweils Wurzel(85) gemeint mit dem 85^(0,5)

Bezug
                
Bezug
Änderungsrate auf Kreisbahn: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:06 So 07.02.2021
Autor: chrisno

Verwende geschweifte Klammern.

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Bezug
Änderungsrate auf Kreisbahn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:14 So 07.02.2021
Autor: chrisno


> <br>
>  Ein Punkt bewegt sich entlang des Kreises [mm]x^2 + y^2 = 11^2[/mm]
> so, dass dx/dt=2 cm/min gilt. Bestimme dy/dt an der Stelle
> (6, [mm]85^{0.5}).[/mm]
>  
>
> <br>
>  Hallo,
>  ich habe mit dem Papula-Werk bereits herausgefunden, dass
> der Anstieg der Kurventangente durch y'=-x/y beschrieben
> wird. Wenn ich nun die Koordinaten einsetze, erhalte ich
> [mm]y'=-6/85^{0.5}[/mm] = -0,651...
>  
> Ist dies schon die Lösung? Dabei habe ich ja die Angabe
> dx/dt=2 nicht berücksichtigt.

Das ist gut, dass dir das auffällt. Es gibt natürlich auch Aufgaben, die mehr Informationen als nötig anbieten. Die finde ich gut, weil man sich dann überlegen muss, was wirklich für die Lösung benötigt wird. Hier aber ist es anders.

Gesucht ist dy/dt, berechnet hast du dy/dx.

Mein Vorschlag: gib mal x(t) und y(t) an, da kommt dann was mit sin und cos heraus.
Dann leite y(t) nach t ab.


Bezug
                
Bezug
Änderungsrate auf Kreisbahn: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:21 So 07.02.2021
Autor: MasterEd

Aufgabe
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Hallo und danke für die schnelle Antwort. Wenn es in die Richtung mit dem x(t) und y(t) geht, bin ich leider völlig überfragt.

Wir hatten vorher schon mal eine Aufgabe, bei der x(t) und y(t) gegeben waren und wir eine Ableitung berechnen sollten. Dann vermute ich mal, jetzt ist es der kompliziertere umgekehrte Weg.

Das einzige, was mir einfällt ist, dass x(t)=2t sein könnte, weil die Ableitung von 2t nach t gleich 2 wäre...

Ich habe allerdings jetzt herausgefunden, dass
x(t)=11*cos(k*t) und y(t)=11*sin(k*t)
einen Kreis um den Ursprung mit Radius 11 beschreibt das k bestimmt Auswirkung auf die Geschwindigkeit hat.

x'(t)=-sin(k*t)*11*k müsste dann ja =2 sein aber dann komme ich da nicht weiter


Bezug
                        
Bezug
Änderungsrate auf Kreisbahn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:21 So 07.02.2021
Autor: chrisno

Wenn du mit Kreisbewegungen gar nicht vertraut bist, dann ist mein Vorschlag nicht so günstig. Für den anderen Weg bin ich allerdings ein paar Jahrzehnte aus dem Training- Ich müsste also ernsthaft nachdenken. Da gibt es hier andere, die fitter sind.

> <br>
>   
>  
>
> <br>
>  Hallo und danke für die schnelle Antwort. Wenn es in die
> Richtung mit dem x(t) und y(t) geht, bin ich leider völlig
> überfragt.
>  
> Wir hatten vorher schon mal eine Aufgabe, bei der x(t) und
> y(t) gegeben waren und wir eine Ableitung berechnen
> sollten. Dann vermute ich mal, jetzt ist es der
> kompliziertere umgekehrte Weg.
>  
> Das einzige, was mir einfällt ist, dass x(t)=2t sein
> könnte, weil die Ableitung von 2t nach t gleich 2
> wäre...

x(t) ist aber gar nicht 2t ...
... doch, siehe unten, aber es ist dann keine Kreisbahn

>  
> Ich habe allerdings jetzt herausgefunden, dass
>  x(t)=11*cos(k*t) und y(t)=11*sin(k*t)
>  einen Kreis um den Ursprung mit Radius 11 beschreibt das k
> bestimmt Auswirkung auf die Geschwindigkeit hat.

Im Bogenmaß, sonst muss man beim Ableiten noch mehr aufpassen:
Wenn $k = 2 [mm] \pi \br{1}{s}$, [/mm] dann macht der Punkt auf dem Kreis genau eine Umdrehung pro Sekunde.

Nun nehme ich an, dass der Kreis den Radus 11 cm hat, denn eine Einheit ist da nicht angegeben.
Mit v = 2 cm/s .....

Hier fällt mir auf, dass die Aufgabe ja völliger Unsinn ist. Wenn $dx/dt = [mm] v_x$ [/mm] konstant 2 cm/s ist, dann kann der Punkt sich nicht auf einer Kreibahn bewegen. Er muss doch auch in x-Richtugn mal zurück laufen.

Wie lautet die richtig formulierte Aufgabe?

>  
> x'(t)=-sin(k*t)*11*k müsste dann ja =2 sein aber dann
> komme ich da nicht weiter
>  


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Änderungsrate auf Kreisbahn: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:24 Mo 08.02.2021
Autor: MasterEd

Aufgabe
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<br>

Ich habe die Aufgabe nochmal nachgelesen und es steht exakt so wie anfangs angegeben dort: dx/dt = 2 cm/min. Das hatte mich auch schon verwundert.

Mit dem Ansatz von @statler komme ich leider auch nicht weiter. Ich weiß, der Gedanke des Forums ist, nicht die Musterlösung zu präsentieren, sondern dem Fragensteller auf dem Weg zur Lösung Tipps zu geben, aber ich komme hier mit allen Ansätzen nicht weiter und zusätzlich gibt es die verwirrende und evtl fehlerhafte Aufgabe mit dem dx/dt=2, vielleicht könnte mir doch jemand seine Lösung schreiben?

Ich habe auch selber noch weiter gerechnet. Aus
(1) dx/dt=2 und
(2) dy/dx=-x/y und
(3) dy/dt=?
habe ich mir überlegt:

Aus (1) folgt dx=2*dt.
Aus (2) folgt dy=-x/y*dx und somit [mm] dy=-6/85^{0,5}*2dt=-12/85^{0,5} [/mm] dt, wenn man den gegebenen Punkt (x,y) einsetzt.
Eingesetzt in (3) kürzt sich das dt weg und man erhält [mm] dy=-12/85^{0,5}. [/mm]

Ist das irgendwie sinnvoll?
 

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Änderungsrate auf Kreisbahn: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:05 Mo 08.02.2021
Autor: chrisno

So wie die Aufgabe formuliert ist, ist sie nicht lösbar.
Wenn die Geschwindigkeit entlang der x-Achse konstant ist, bewegt sich der Punkt immer weiter nach rechts. Da kann kein Kreis daraus entstehen.

Du musst also beim Aufgabensteller nachfragen.
Es könnte zum Beispiel sein, dass die Geschwindigkeit in x-Rcihtung für den höchsten Punt der Bahn angegeben ist.
Es könnte auch sein, dass die Geschwindgkeit in x-Richtung für den gegebenen Punkt gemeint ist. Dann allerdings wäre die Aufgabe etwas einfach.



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Änderungsrate auf Kreisbahn: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:09 Mo 08.02.2021
Autor: statler

Guten Morgen allerseits!

> Wenn die Geschwindigkeit entlang der x-Achse konstant ist,
> bewegt sich der Punkt immer weiter nach rechts. Da kann
> kein Kreis daraus entstehen.


Die Bewegung des Punktes auf dem Kreis ist eine Bewegung in der Ebene, und [mm] $\dot{x}(t)$ [/mm] ist die Geschwindigkeitskomponente in $x$-Richtung.
Stell es dir so vor: Der Punkt bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit auf der x-Achse, wird von unten beleuchtet und sein Schatten bewegt sich auf dem oberen Halbkreis. Dann hat der Schatten übrigens im Hochpunkt die gleiche Momentangeschwindigkeit wie das Original auf der x-Achse. Dort ist [mm] $\dot{y}(0) [/mm] = 0$. Die Geschwindigkeit auf dem Kreis ist nicht konstant.

Gruß Dieter

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Änderungsrate auf Kreisbahn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:19 Mo 08.02.2021
Autor: statler


>  
> Ich habe auch selber noch weiter gerechnet. Aus
>  (1) dx/dt=2 und
>  (2) dy/dx=-x/y und
>  (3) dy/dt=?
>  habe ich mir überlegt:
>  
> Aus (1) folgt dx=2*dt.
>  Aus (2) folgt dy=-x/y*dx und somit
> [mm]dy=-6/85^{0,5}*2dt=-12/85^{0,5}[/mm] dt, wenn man den gegebenen
> Punkt (x,y) einsetzt.
>  Eingesetzt in (3) kürzt sich das dt weg und man erhält
> [mm]dy=-12/85^{0,5}.[/mm]

Kleiner Fehler: [mm] $\frac{dy}{dt} [/mm] = [mm] -\frac{12}{85^{0,5}}$ [/mm]

>  
> Ist das irgendwie sinnvoll?
>   

So (über die Differentiale) würden Ingenieure das machen.


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Änderungsrate auf Kreisbahn: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:40 So 07.02.2021
Autor: statler

Hi,
ich verweise noch mal auf die Kettenregel:
Im ersten Schritt leitest du in der Gleichung
[mm] \(x(t)^{2} [/mm] + [mm] y(t)^{2} [/mm] = [mm] 11^{2} \) [/mm]
beide Seiten nach t ab.
Im zweiten Schritt setzt du dann ein und stellst um.
Ist dir auch klar, wie der Punkt sich (zeitabhängig) bewegt?
Gruß Dieter

PS: chrisnos Weg geht natürlich auch.

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Änderungsrate auf Kreisbahn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:02 Mo 08.02.2021
Autor: HJKweseleit


> <br>
>  Ein Punkt bewegt sich entlang des Kreises [mm]x^2 + y^2 = 11^2[/mm]
> so, dass dx/dt=2 cm/min gilt. Bestimme dy/dt an der Stelle
> (6, [mm]85^{0.5}).[/mm]



[mm]x^2 + y^2 = 11^2[/mm]

Es ist [mm] y=\wurzel{11^2-x^2} [/mm] und somit [mm] =\bruch{dy}{dx}=\bruch{-2x}{2\wurzel{11^2-x^2}}=\bruch{-x}{y}, [/mm] also y dy =-x dx, woraus folgt: [mm] y\bruch{dy}{dt}=-x\bruch{dx}{dt}. [/mm]

Wahrscheinlich bezieht sich der Wert 2 cm/min nur auf den Punkt [mm] (6|\wurzel{85}), [/mm] womit sich die meisten Überlegungen in den bisherigen Antworten erübrigen.

Eingesetzt gibt das: [mm] \wurzel{85}\bruch{dy}{dt}=-6*2 [/mm] cm/min und damit [mm] \bruch{dy}{dt}=- \bruch{12}{\wurzel{85}} [/mm] cm/min.


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