äquivalente Metriken < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Di 17.07.2012 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Seien [mm] $(X,d_1), (X,d_2) [/mm] $ zwei metr. Räume mit äquivalenten Metriken.
Zeigen Sie: Jede bezügl. [mm] $d_1$ [/mm] offene Menge ist auch bezgl. [mm] $d_2$ [/mm] offen. |
Sei [mm] $U_1$ [/mm] bzgl. [mm] $d_1$ [/mm] offen. Nach Vor. : [mm] $\forall x\in U_1 \exists \epsilon>0: U_2(x,\epsilon)\subseteq U_1,$ [/mm] d.h. [mm] $d_1(x,y)<\epsilon$ [/mm] mit [mm] $y\in U_1\setminus U_2 [/mm] $. Nach weiterer Vor. gibt es ein $k>0$, sodass [mm] $d_1(x,y)\le kd_2(x,y).$ [/mm] Wie kann ich nun zeigen, dass es für jedes beliebig $k>0$ gilt, dass also auch [mm] $d_2(x,y)<\epsilon \forall y\in U_1\setminus U_2$ [/mm] ? Da hänge ich, kann mir jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Di 17.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Seien [mm](X,d_1), (X,d_2)[/mm] zwei metr. Räume mit äquivalenten
> Metriken.
> Zeigen Sie: Jede bezügl. [mm]d_1[/mm] offene Menge ist auch bezgl.
> [mm]d_2[/mm] offen.
> Sei [mm]U_1[/mm] bzgl. [mm]d_1[/mm] offen. Nach Vor. : [mm]\forall x\in U_1 \exists \epsilon>0: U_2(x,\epsilon)\subseteq U_1,[/mm]
> d.h. [mm]d_1(x,y)<\epsilon[/mm] mit [mm]y\in U_1\setminus U_2 [/mm]. Nach
> weiterer Vor. gibt es ein [mm]k>0[/mm], sodass [mm]d_1(x,y)\le kd_2(x,y).[/mm]
besser es existieren k1,k2 mit [mm] k_1*d_2(x,y)\le d_1(x,y)\le k_2*d2(x,y)
[/mm]
> Wie kann ich nun zeigen, dass es für jedes beliebig [mm]k>0[/mm]
> gilt, dass also auch [mm]d_2(x,y)<\epsilon \forall y\in U_1\setminus U_2[/mm]
es muss ja für das [mm] U_2 [/mm] nicht dasselbe [mm] \epsilon [/mm] sein, sondern es muss nur eines [mm] \epsilon_2>0 [/mm] existieren.
und wenn [mm] U_2(x,\epsilon) [/mm] kannst du für k>1 [mm] \epsilon_2=\epsilon/k [/mm] wählen.
gruss leduart
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