äquivalente Metriken < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 Sa 26.10.2013 | | Autor: | Arbo |
| Aufgabe | Auf [mm] \IR [/mm] betrachten wir die euklidische Metrik [mm] d_{1}(x,y)=|x-y|. [/mm] Sei [mm] d_{2}:\IR \times \IR \to \IR [/mm] gegeben durch [mm] d_{2}(x,y)=|arctan(x)-arctan(y)|.
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass [mm] d_{2} [/mm] eine Metrik ist!
b) Zeigen Sie, dass [mm] d_{1} [/mm] und [mm] d_{2} [/mm] dieselben offenen Mengen definieren!
c) Zeigen Sie, dass [mm] (\IR,d_{2}) [/mm] nicht vollständig ist! |
a) ist klar: Eigenschaften nachprüfen.
b) habe ich erst mit dem Satz über die Äquivalenz von Normen lösen wollen bis mir aufgefallen ist, dass es ja um Metriken und nicht um Normen geht =(. Also doch zu Fuß: "die selben offenen Mengen definieren" schreibe ich mal als [mm] O(d_{1})=O(d_{2}). [/mm]
Also zz: [mm] O(d_{1})=O(d_{2}). [/mm]
Also zz: [mm] O(d_{1}) \subset O(d_{2}) [/mm] sowie [mm] O(d_{2}) \subset O(d_{1}). [/mm]
Also zz: [mm] O(d_{1}) \subset O(d_{2}) \subset O(d_{1}).
[/mm]
Also zz: [mm] \exists [/mm] C und C' sodass [mm] C*d_{1}(x,y) \le d_{2}(x,y) \le C'*d_{1}(x,y).
[/mm]
[mm] d_{2}(x,y) \le C'*d_{1}(x,y) \gdw [/mm] |arctan(x)-arctan(y)| [mm] \le [/mm] C'*|x-y|
[mm] \gdw \bruch{|arctan(x)-arctan(y)|}{|x-y|} \le [/mm] C'
Definiere f(x):= arctan(x), dann ist
[mm] \bruch{|arctan(x)-arctan(y)|}{|x-y|} \le [/mm] C' [mm] \gdw [/mm] f(x) ist C'-Lipschitz-stetig, d.h. Lipschitz-stetig mit Konstante C'. Jetzt weiß ich, dass [mm] f'(x)=\bruch{1}{1+x^{2}} \le [/mm] 1 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR. [/mm]
Darf ich jetzt die Folgerung anstellen, die unmittelbar zur Lösung nämlich C'=1 führt oder nicht? Eigentlich gilt i.A. doch nicht, dass Differenzenquotient(x,y) [mm] \le [/mm] f'(x).
Von hier aus wäre der Weg auch nicht mehr weit, denn [mm] \bruch{|arctan(x)-arctan(y)|}{|x-y|} \le [/mm] C' [mm] \gdw |\bruch{arctan(x)-arctan(y)}{x-y}| \le [/mm] C' [mm] \gdw [/mm] -C' [mm] \le \bruch{arctan(x)-arctan(y)}{x-y} \le [/mm] C' und damit C = -C'
c) Knobeln: finde eine Cauchy-Folge, welche nicht konvergiert. Mein Vorschlag: [mm] x_{n} [/mm] := tan(1 - [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] Bei der 1 bin ich mir noch nicht sicher vllt. muss man auch [mm] x_{n} [/mm] := [mm] tan(\pi [/mm] - [mm] \bruch{1}{n}).
[/mm]
Es wäre lieb wenn ihr meine Lösungen kritisiert und mir sagt, wie ich b) zu ende bringen kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß
Arbo
P.S.: Wenn ich zwei [mm] \diesundjenes [/mm] direkt ohne Leerzeichen hintereinander setze kommt der Editor darauf klar?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Sa 26.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Auf [mm]\IR[/mm] betrachten wir die euklidische Metrik
> [mm]d_{1}(x,y)=|x-y|.[/mm] Sei [mm]d_{2}:\IR \times \IR \to \IR[/mm] gegeben
> durch [mm]d_{2}(x,y)=|arctan(x)-arctan(y)|.[/mm]
> a) Zeigen Sie, dass [mm]d_{2}[/mm] eine Metrik ist!
> b) Zeigen Sie, dass [mm]d_{1}[/mm] und [mm]d_{2}[/mm] dieselben offenen
> Mengen definieren!
> c) Zeigen Sie, dass [mm](\IR,d_{2})[/mm] nicht vollständig ist!
> a) ist klar: Eigenschaften nachprüfen.
>
> b) habe ich erst mit dem Satz über die Äquivalenz von
> Normen lösen wollen bis mir aufgefallen ist, dass es ja um
> Metriken und nicht um Normen geht =(. Also doch zu Fuß:
> "die selben offenen Mengen definieren" schreibe ich mal als
> [mm]O(d_{1})=O(d_{2}).[/mm]
> Also zz: [mm]O(d_{1})=O(d_{2}).[/mm]
> Also zz: [mm]O(d_{1}) \subset O(d_{2})[/mm] sowie [mm]O(d_{2}) \subset O(d_{1}).[/mm]
> Also zz: [mm]O(d_{1}) \subset O(d_{2}) \subset O(d_{1}).[/mm]
> Also
> zz: [mm]\exists[/mm] C und C' sodass [mm]C*d_{1}(x,y) \le d_{2}(x,y) \le C'*d_{1}(x,y).[/mm]
Nein. Das bedeutet nicht die Äquivalenz der Metriken !
Schau mal hier:
https://matheraum.de/read?t=984267
FRED
>
> [mm]d_{2}(x,y) \le C'*d_{1}(x,y) \gdw[/mm] |arctan(x)-arctan(y)| [mm]\le[/mm]
> C'*|x-y|
> [mm]\gdw \bruch{|arctan(x)-arctan(y)|}{|x-y|} \le[/mm] C'
> Definiere f(x):= arctan(x), dann ist
> [mm]\bruch{|arctan(x)-arctan(y)|}{|x-y|} \le[/mm] C' [mm]\gdw[/mm] f(x) ist
> C'-Lipschitz-stetig, d.h. Lipschitz-stetig mit Konstante
> C'. Jetzt weiß ich, dass [mm]f'(x)=\bruch{1}{1+x^{2}} \le[/mm] 1
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Darf ich jetzt die Folgerung anstellen, die unmittelbar zur
> Lösung nämlich C'=1 führt oder nicht? Eigentlich gilt
> i.A. doch nicht, dass Differenzenquotient(x,y) [mm]\le[/mm] f'(x).
>
> Von hier aus wäre der Weg auch nicht mehr weit, denn
> [mm]\bruch{|arctan(x)-arctan(y)|}{|x-y|} \le[/mm] C' [mm]\gdw |\bruch{arctan(x)-arctan(y)}{x-y}| \le[/mm]
> C' [mm]\gdw[/mm] -C' [mm]\le \bruch{arctan(x)-arctan(y)}{x-y} \le[/mm] C' und
> damit C = -C'
>
>
> c) Knobeln: finde eine Cauchy-Folge, welche nicht
> konvergiert. Mein Vorschlag: [mm]x_{n}[/mm] := tan(1 - [mm]\bruch{1}{n})[/mm]
> Bei der 1 bin ich mir noch nicht sicher vllt. muss man auch
> [mm]x_{n}[/mm] := [mm]tan(\pi[/mm] - [mm]\bruch{1}{n}).[/mm]
>
> Es wäre lieb wenn ihr meine Lösungen kritisiert und mir
> sagt, wie ich b) zu ende bringen kann.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Gruß
> Arbo
>
> P.S.: Wenn ich zwei [mm]\diesundjenes[/mm] direkt ohne Leerzeichen
> hintereinander setze kommt der Editor darauf klar?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:23 So 27.10.2013 | | Autor: | Arbo |
Danke für die schnelle Antwort Fred97, aber leider komme ich bei der Diskussion zwischen Die_Suedkurve, tobit09 und Gono nicht mit.
Die wollen zeigen: Jede [mm] d_{1}-offene [/mm] Kugel ist auch eine [mm] d_{2}-offene [/mm] Kugel und umgekehrt. Dann fangen die an: Angenommen x [mm] \in B_{2}^{d_{1}}(x_{0}), [/mm] d.h. [mm] d_{1}(x,x_{0}) [/mm] < [mm] \varepsilon, [/mm] d.h. [mm] |x-x_{0}|<\varepsilon [/mm]
zz: [mm] d_{2}(x,x_{0})
Jetzt forme ich die Gleichung um und erhalte [mm] \bruch{d_{2}(x,x_{0})}{d_{1}(x,x_{0})} [/mm] < 1 [mm] \gdw [/mm] f(x):= arctan(x) Lipschitz-stetig ist. Was mich zu meiner ursprünglichen Frage bringt, die nicht beantwortet wurde, nämlich: ich darf von Lipschitz-Stetigkeit auf beschränkte Ableitung schließen, denn die Ableitung ist einfach der Grenzwert des Diff.Quotienten, welcher beschränkt ist, falls f Lipschitz-stetig. Darf ich auch rückwärts gehen und von f hat beschränkte Ableitung auf f Lipschitz-stetig schließen (und somit die Aufgabe lösen, falls die Lipschitzkonstante kleiner als 1 ist)? Anders gefragt ist die Funktion arctan(x) eine Kontraktion oder nicht und ist die Aufgabe damit nicht gelöst?
Es wäre lieb wenn jemand meinen Lösungsversuch unter die Lupe nehmen würde, denn den unter https://matheraum.de/read?t=984267 verstehe ich nicht und er bezieht sich auf die alte und nicht die neue Aufgabenstellung mit [mm] d_{2}(x,x_{0}) [/mm] = |arctan(x)-arctan(y)|.
Danke im Vorraus
Arbo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 So 27.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Arbo und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Auf [mm]\IR[/mm] betrachten wir die euklidische Metrik
> [mm]d_{1}(x,y)=|x-y|.[/mm] Sei [mm]d_{2}:\IR \times \IR \to \IR[/mm] gegeben
> durch [mm]d_{2}(x,y)=|arctan(x)-arctan(y)|.[/mm]
> a) Zeigen Sie, dass [mm]d_{2}[/mm] eine Metrik ist!
> b) Zeigen Sie, dass [mm]d_{1}[/mm] und [mm]d_{2}[/mm] dieselben offenen
> Mengen definieren!
> c) Zeigen Sie, dass [mm](\IR,d_{2})[/mm] nicht vollständig ist!
> a) ist klar: Eigenschaften nachprüfen.
> b) habe ich erst mit dem Satz über die Äquivalenz von
> Normen lösen wollen bis mir aufgefallen ist, dass es ja um
> Metriken und nicht um Normen geht =(. Also doch zu Fuß:
> "die selben offenen Mengen definieren" schreibe ich mal als
> [mm]O(d_{1})=O(d_{2}).[/mm]
> Also zz: [mm]O(d_{1})=O(d_{2}).[/mm]
> Also zz: [mm]O(d_{1}) \subset O(d_{2})[/mm] sowie [mm]O(d_{2}) \subset O(d_{1}).[/mm]
> Also zz: [mm]O(d_{1}) \subset O(d_{2}) \subset O(d_{1}).[/mm]
> Also
> zz: [mm]\exists[/mm] C und C' sodass [mm]C*d_{1}(x,y) \le d_{2}(x,y) \le C'*d_{1}(x,y).[/mm]
Wie Fred schon schrieb: Das musst du gar nicht zeigen.
Wenn es dir aber gelänge (was es im Falle von [mm]C[/mm] nicht wird), solche [mm]C>0[/mm] und [mm]C'>0[/mm] zu finden, könntest du daraus das Gewünschte folgern (Warum?).
> [mm]d_{2}(x,y) \le C'*d_{1}(x,y) \gdw[/mm] |arctan(x)-arctan(y)| [mm]\le[/mm]
> C'*|x-y|
> [mm]\gdw \bruch{|arctan(x)-arctan(y)|}{|x-y|} \le[/mm] C'
> Definiere f(x):= arctan(x), dann ist
> [mm]\bruch{|arctan(x)-arctan(y)|}{|x-y|} \le[/mm] C' [mm]\gdw[/mm] f(x) ist
> C'-Lipschitz-stetig, d.h. Lipschitz-stetig mit Konstante
> C'. Jetzt weiß ich, dass [mm]f'(x)=\bruch{1}{1+x^{2}} \le[/mm] 1
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR.[/mm]
Das Entscheidende ist [mm]|f'(x)|\le1[/mm].
> Darf ich jetzt die Folgerung anstellen, die unmittelbar zur
> Lösung nämlich C'=1 führt oder nicht?
Ja, nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
> Eigentlich gilt
> i.A. doch nicht, dass Differenzenquotient(x,y) [mm]\le[/mm] f'(x).
Das gilt in der Tat i.A. nicht.
Aber für [mm]x\not=y[/mm] existiert nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ein [mm]\xi[/mm] zwischen [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] mit
[mm]f'(\xi)=\bruch{f(x)-f(y)}{x-y}[/mm].
Also [mm]\left|\bruch{f(x)-f(y)}{x-y}\right|=|f'(\xi)|\le 1[/mm].
Den Fall [mm]x=y[/mm] kannst du separat betrachten.
> Von hier aus wäre der Weg auch nicht mehr weit, denn
> [mm]\bruch{|arctan(x)-arctan(y)|}{|x-y|} \le[/mm] C' [mm]\gdw |\bruch{arctan(x)-arctan(y)}{x-y}| \le[/mm]
> C' [mm]\gdw[/mm] -C' [mm]\le \bruch{arctan(x)-arctan(y)}{x-y} \le[/mm] C' und
> damit C = -C'
Damit wäre aber nicht [mm]C>0[/mm]. Damit hilft dir das nicht weiter.
Fazit: Du kannst folgern, dass bezüglich [mm]d_2[/mm] offene Mengen auch bezüglich [mm]d_1[/mm] offen sind.
Die Umkehrung musst du noch zeigen.
> c) Knobeln: finde eine Cauchy-Folge, welche nicht
> konvergiert. Mein Vorschlag: [mm]x_{n}[/mm] := tan(1 - [mm]\bruch{1}{n})[/mm]
Diese Folge konvergiert bezüglich [mm]d_2[/mm].
> Bei der 1 bin ich mir noch nicht sicher vllt. muss man auch
> [mm]x_{n}[/mm] := [mm]tan(\pi[/mm] - [mm]\bruch{1}{n}).[/mm]
[mm]x_n:=\tan(\bruch\pi2-\bruch1n)[/mm] meinst du sicherlich.
Diese Folge solltest du weiter untersuchen!
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:50 Mo 28.10.2013 | | Autor: | Arbo |
Danke für deine Hinweise. Die Hausaufgabe war zu heute 11 Uhr abzugeben, deshalb habe ich jetzt nur einige Sachen korrigiert.
b)
habe ich jetzt nur die Rückrichtung abgegeben, also die Folgerung, dass "bezüglich $ [mm] d_2 [/mm] $ offene Mengen auch bezüglich $ [mm] d_1 [/mm] $ offen sind".
Ich weiß nicht was das soll, aber ich komme bei diesem Gerede über äquivalente Metriken/Normen einfach nicht mit. Eigentlich müsste man es ja stets runterbrechen können auf ganz einfache Ungleichungen zwischen den Metriken, aber komischerweise ist das dann doch jedes mal eben gar nicht einfach.
c)
Die Folge $ [mm] x_n:=\tan(\bruch\pi2-\bruch1n) [/mm] $ hat natürlich viel besser geklappt, sie ist nämlich bzgl. [mm] d_2 [/mm] eine Cauchy-Folge, konvergiert aber nicht, da [mm] tan(\bruch\pi2) [/mm] nicht definiert ist.
Gruß
Arbo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:42 Di 29.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> c)
>
> Die Folge [mm]x_n:=\tan(\bruch\pi2-\bruch1n)[/mm] hat natürlich
> viel besser geklappt, sie ist nämlich bzgl. [mm]d_2[/mm] eine
> Cauchy-Folge, konvergiert aber nicht,
Genau.
> da [mm]tan(\bruch\pi2)[/mm]
> nicht definiert ist.
Vielleicht konvergiert die Folge [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] bezüglich [mm]d_2[/mm] ja doch gegen irgendeine Zahl [mm]a\in\IR[/mm]? (Tatsächlich ist das nicht der Fall, aber das ist noch zu begründen.)
Überlege dazu, dass die Folge dann auch bezüglich [mm]d_1[/mm] (also im gewöhnlichen Sinne) gegen [mm]a[/mm] konvergieren würde.
Im Widerspruch dazu divergiert die Folge jedoch bestimmt gegen [mm]\infty[/mm].
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