äquivalente matritzen und dars < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:32 Fr 19.05.2006 | | Autor: | AriR |
(Frage zuvor nicht gestellt)
Hey leute angenommen ich hab eine Funktion [mm] f\in End_K(\IR^n)und [/mm] eine darst. Matrix A zu f bzgl. der standardbasen und eine durch elementarezeilumformungen umgeformte matrix A' (also
A wurde zu A' umgeformt)
kann man jetzt eine weitere basis finden, sodass A' eine darst. Matrix von f ist bzgl. dieser Basis?
danke und gruß... Ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Fr 19.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Ari!
> (Frage zuvor nicht gestellt)
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> Hey leute angenommen ich hab eine Funktion [mm]f\in End_K(\IR^n)und[/mm]
> eine darst. Matrix A zu f bzgl. der standardbasen und eine
> durch elementarezeilumformungen umgeformte matrix A' (also
> A wurde zu A' umgeformt)
>
> kann man jetzt eine weitere basis finden, sodass A' eine
> darst. Matrix von f ist bzgl. dieser Basis?
Wenn $f$ bezueglich einer Basis die Darstellungsmatrix $A$ und bzgl. einer anderen die Darstellungsmatrix $A'$ hat, so muss es eine invertierbare Matrix $T$ geben mit $A = T A' [mm] T^{-1}$.
[/mm]
Damit lautet die Antwort nein: Nimm etwa die Einheitsmatrix $A = [mm] \pmat{1&0\\0&1}$ [/mm] und die daraus durch elementare Zeilenumformungen entstandene Matrix $A' = [mm] \pmat{1&1\\0&1}$. [/mm] Die Matrix $A'$ ist nicht diagonalisierbar, im Gegensatz zu $A$; damit kann es kein solches $T$ geben...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Fr 19.05.2006 | | Autor: | AriR |
gilt es im allgemeinen nicht oder nie?
ich habe es heute irgendwie so verstanden, dass dieser zusammenhang nieeee gilt.
ist das echt so?
danke und gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Fr 19.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> gilt es im allgemeinen nicht oder nie?
Es gilt im Allgemeinen nicht. Es gibt aber auch Faelle, wo es gilt! Ist z.B. $A$ invertierbar, so impliziert $U A = [mm] T^{-1} [/mm] A T$ ja gerade $U = [mm] T^{-1} [/mm] A T [mm] A^{-1}$. [/mm] Wenn du jetzt zufaellige invertierbare Matrizen $A$ und $T$ waehlst, ist $U$ im Allgemeinen nicht die Einheitsmatrix.
Nimm etwa $A = [mm] \pmat{1 & 2 \\ 3 & 4}$ [/mm] und $T = [mm] \pmat{4 & 1 \\ 2 & 3}$; [/mm] dann ist $U = [mm] \frac{1}{10} \pmat{1 & 1 \\ -59 & 41}$, [/mm] und es gilt $U A = [mm] T^{-1} [/mm] A T$.
Und da jede invertierbare Matrix $U$ als Produkt von Elemetarmatrizen geschrieben werden kann, ist $U A$ also eine aus $A$ durch Zeilenumformungen entstandene Matrix.
LG Felix
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