Äquivalentes Umformen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass auf [mm] R^+:=(0,\infty) [/mm] durch
[mm] d:R^{+} [/mm] x [mm] R^{+} [/mm] -> R: d(x,y) := [mm] \bruch{|x-y|}{xy} [/mm] eine Metrik definiert ist. |
Hallo,
ich habe ein Problem mit dem Beweis von der (iii) Eigenschaft, die besagt:
[mm] d(x,z)\le [/mm] d(x,y)+d(y,z).
Wie folgt habe ich "bewiesen":
Seien x,y,z [mm] \in R^{+} \backslash [/mm] 0, [mm] \infty.
[/mm]
Sei [mm] \bruch{|x-z|}{xz} \le \bruch{|x-y|}{xy}+\bruch{|y-z|}{yz},
[/mm]
also 0 [mm] \le \bruch{z|x-y|+x|y-z|-y|x-z|}{xyz}.
[/mm]
Ab hier habe ich Probleme den Beweis zu vervollständigen.
An Zahlen probiert geht die Behauptung auf, bloß wird das nicht als allgemeingültiger Beweis zählen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Mi 27.05.2015 | | Autor: | hippias |
Ueberlege Dir, dass $d(x,y)= [mm] |\frac{1}{x}-\frac{1}{y}|$ [/mm] gilt. Die Dreiecksungleichung fuer den Betrag kennst Du ja sicher.
|
|
|
| |
|
Lt. Merziger ist die Dreiecksungleichung für Beträge folgendermaße definiert:
||x|-|y|| [mm] \le |x\pmy| \le [/mm] |x|+|y|
Daraus folgt für [mm] \bruch{|x-y|}{xy} [/mm] dann [mm] |\bruch{|x|}{xy}-\bruch{|y|}{xy}|=|\bruch{1}{y}-\bruch{1}{x}|=|\bruch{1}{x}-\bruch{1}{y}|
[/mm]
Dann kann man statt [mm] \bruch{|x-z|}{xz} \le \bruch{|x-y|}{xy}+\bruch{|y-z|}{yz} [/mm] auch [mm] |\bruch{1}{x}-\bruch{1}{z}| \le |\bruch{1}{x}-\bruch{1}{y}|+|\bruch{1}{y}-\bruch{1}{z}| [/mm] schreiben,
also [mm] |\bruch{1}{x}-\bruch{1}{z}| \le |\bruch{1}{x}-\bruch{1}{y}+\bruch{1}{y}-\bruch{1}{z}|,
[/mm]
also [mm] |\bruch{1}{x}-\bruch{1}{z}| \le |\bruch{1}{x}-\bruch{1}{z}|.
[/mm]
Stimmt das dann so?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Mi 27.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Lt. Merziger ist die Dreiecksungleichung für Beträge
> folgendermaße definiert:
> ||x|-|y|| [mm]\le |x\pmy| \le[/mm] |x|+|y|
Unsinn , die Dreiecksungl. lautet: |x+y| [mm] \le [/mm] |x|+|y|
>
> Daraus folgt für [mm]\bruch{|x-y|}{xy}[/mm] dann
> [mm]|\bruch{|x|}{xy}-\bruch{|y|}{xy}|=|\bruch{1}{y}-\bruch{1}{x}|=|\bruch{1}{x}-\bruch{1}{y}|[/mm]
>
> Dann kann man statt [mm]\bruch{|x-z|}{xz} \le \bruch{|x-y|}{xy}+\bruch{|y-z|}{yz}[/mm]
> auch [mm]|\bruch{1}{x}-\bruch{1}{z}| \le |\bruch{1}{x}-\bruch{1}{y}|+|\bruch{1}{y}-\bruch{1}{z}|[/mm]
> schreiben,
> also [mm]|\bruch{1}{x}-\bruch{1}{z}| \le |\bruch{1}{x}-\bruch{1}{y}+\bruch{1}{y}-\bruch{1}{z}|,[/mm]
>
> also [mm]|\bruch{1}{x}-\bruch{1}{z}| \le |\bruch{1}{x}-\bruch{1}{z}|.[/mm]
>
> Stimmt das dann so?
Ne.
$ [mm] |\bruch{1}{x}-\bruch{1}{z}| [/mm] = [mm] |\bruch{1}{x}-\bruch{1}{y}+\bruch{1}{y}-\bruch{1}{z}| [/mm] $
Jetzt Dreiecksungl.
FRED
>
|
|
|
| |
|
Guten Morgen,
ehrlich gesagt bin ich jetzt über beide Ohren überfragt.
Erstmal ein Dank an Marcel für die Korrektur des Quelltextes:
die Dreiecksungleichung für Beträge lautet [mm] |\;|x|\,-\,|y|\;| \le [/mm] |x [mm] \pm [/mm] y| [mm] \le [/mm] |x|+|y|
> [mm]|\bruch{1}{x}-\bruch{1}{z}| = |\bruch{1}{x}-\bruch{1}{y}+\bruch{1}{y}-\bruch{1}{z}|[/mm]
>
> Jetzt Dreiecksungl.
Warum steht jetzt zwischen den Beträgen ein "=" statt ein [mm] "\le"?
[/mm]
Dann verstehe ich nicht, in wie weit ich die Ungleichung anwenden soll!
Kann ich denn die Summanden/Subtrahenten in den Beträgen in ihrer Reiehenfolge tauschen oder ist das unzulässig?
Denn im Moment sehe ich nur, dass sich [mm] \bruch{-1}{y}+\bruch{1}{y} [/mm] rausheben.
Bitte helt mir, ich versuche es zu verstehen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:25 Do 28.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Guten Morgen,
> ehrlich gesagt bin ich jetzt über beide Ohren
> überfragt.
>
> Erstmal ein Dank an Marcel für die Korrektur des
> Quelltextes:
> die Dreiecksungleichung für Beträge lautet
> [mm]|\;|x|\,-\,|y|\;| \le[/mm] |x [mm]\pm[/mm] y| [mm]\le[/mm] |x|+|y|
>
> > [mm]|\bruch{1}{x}-\bruch{1}{z}| = |\bruch{1}{x}-\bruch{1}{y}+\bruch{1}{y}-\bruch{1}{z}|[/mm]
>
> >
> > Jetzt Dreiecksungl.
>
> Warum steht jetzt zwischen den Beträgen ein "=" statt ein
> [mm]"\le"?[/mm]
> Dann verstehe ich nicht, in wie weit ich die Ungleichung
> anwenden soll!
> Kann ich denn die Summanden/Subtrahenten in den Beträgen
> in ihrer Reiehenfolge tauschen oder ist das unzulässig?
>
> Denn im Moment sehe ich nur, dass sich
> [mm]\bruch{-1}{y}+\bruch{1}{y}[/mm] rausheben.
Na also, dann gilt doch:
$ [mm] |\bruch{1}{x}-\bruch{1}{z}| [/mm] = [mm] |\bruch{1}{x}-\bruch{1}{y}+\bruch{1}{y}-\bruch{1}{z}| [/mm] $ !!!!
>
> Bitte helt mir, ich versuche es zu verstehen.
Weiter:
$ [mm] |\bruch{1}{x}-\bruch{1}{z}| [/mm] = [mm] |\bruch{1}{x}-\bruch{1}{y}+\bruch{1}{y}-\bruch{1}{z}| \le |\bruch{1}{x}-\bruch{1}{y}|+|\bruch{1}{y}-\bruch{1}{z}| [/mm] $
Fertig.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:48 Do 28.05.2015 | | Autor: | Ne0the0ne |
Jetzt erkenne ich es.
Oh man, ich komme mir vor wie ein Anfänger.
Vielen Dank für die Hilfestellungen!!!
Das die Lösung dann so banal ist, hätte ich nicht gedacht!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:51 Do 28.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > [mm]|\bruch{1}{x}-\bruch{1}{z}| = |\bruch{1}{x}-\bruch{1}{y}+\bruch{1}{y}-\bruch{1}{z}|[/mm]
>
> >
> > Jetzt Dreiecksungl.
>
> Warum steht jetzt zwischen den Beträgen ein "=" statt ein
> [mm]"\le"?[/mm]
da wurde die Dreiecksungleichung noch NICHT angewendet!
> Denn im Moment sehe ich nur, dass sich
> [mm]\bruch{-1}{y}+\bruch{1}{y}[/mm] rausheben.
Eben; lassen wir die Beträge mal weg:
[mm] $\frac{1}{x}-\frac{1}{z}=\frac{1}{x}\red{\,+\,0}-\frac{1}{z}=\frac{1}{x}+\red{\left(\frac{-1}{y}+\frac{1}{y}\right)}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x}\red{\,-\,\frac{1}{y}+\frac{1}{y}}+\frac{1}{z}$
[/mm]
Und aus [mm] $r=s\,$ [/mm] folgt natürlich auch [mm] $|r|=|s|\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:26 Mi 27.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Lt. Merziger ist die Dreiecksungleichung für Beträge
> folgendermaße definiert:
> ||x|-|y|| [mm]\le |x\pmy| \le[/mm] |x|+|y|
das ist KEINE Definition, sondern eine Aussage. Wenn man Deinen Quellcode
korrigiert, sieht man auch, dass Du was anderes meinst (daher Vorschaufunktion
benutzen!):
[mm] $|\;|x|\,-\,|y|\;| \le [/mm] |x [mm] \pm [/mm] y| [mm] \le [/mm] |x|+|y|$
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
