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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Mi 13.09.2006 | | Autor: | FlorianJ |
| Aufgabe | Sei G die Menge aller Geraden in der Ebene. Eine Relation ist definiert durch
[mm] R_\parallel [/mm] := [mm] {(g_1,g_2)|g_1,g_2 \in G \wedge g_1 \parallel g_2}
[/mm]
[mm] (\parallel [/mm] bedeutet parallel zu).
Ist es eine Äquivalenzrelation? Wenn ja, bestimmen Sie die zugehörigen
Äquivalenzklassen. |
Guten abend Matheliebhaber!
Ich glaube, ich habe den Aufgabentyp verstanden, starte also erstmal los:
damit [mm] g_1 [/mm] parallel zu [mm] g_2 [/mm] ist, muss die Steigung [mm] m_1 [/mm] = [mm] m_2 [/mm] sein.
=>
reflexiv: [mm] m_1=m_1 [/mm] erfüllt
symmetrisch: [mm] m_1 [/mm] = [mm] m_2 [/mm] => [mm] m_2 [/mm] = [mm] m_1 [/mm] ebenfalls erfüllt
transitiv: [mm] m_1 [/mm] = [mm] m_2 \wedge m_2 [/mm] = [mm] m_3 [/mm] => [mm] m_1 [/mm] = [mm] m_3
[/mm]
auch das stimmt.
Nun die Frage zu den Äquivalenzklassen.
Wie genau gehe ich nun vor?
Ich weiß, dass die Vereinigung der Klassen die Menge G ergeben muss.
[mm] \bigcup_{i=1}^{n} K_i [/mm] = G
[mm] K_i [/mm] (mit i=0,1,2.....n)
und nun gibt ihm? naja, bin um jede hilfe dankbar!
Muss aber nun zum Sport und antworte daher später!
Danke, Flo!
Die Frage habe ich nur hier gestellt!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mi 13.09.2006 | | Autor: | FlorianJ |
so mir fiel da nun doch noch was ein.
kann es sein, dass [mm] b_1 [/mm] = [mm] z*b_2 [/mm] sein muss
also mit z [mm] \in \IR
[/mm]
und dass das dann die klassen sind?
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Hallo!
> Sei G die Menge aller Geraden in der Ebene. Eine Relation
> ist definiert durch
>
> [mm]R_\parallel[/mm] := [mm]{(g_1,g_2)|g_1,g_2 \in G \wedge g_1 \parallel g_2}[/mm]
>
> [mm](\parallel[/mm] bedeutet parallel zu).
>
> Ist es eine Äquivalenzrelation? Wenn ja, bestimmen Sie die
> zugehörigen
> Äquivalenzklassen.
> Guten abend Matheliebhaber!
>
> Ich glaube, ich habe den Aufgabentyp verstanden, starte
> also erstmal los:
>
> damit [mm]g_1[/mm] parallel zu [mm]g_2[/mm] ist, muss die Steigung [mm]m_1[/mm] = [mm]m_2[/mm]
> sein.
Damit kann man arbeiten, der Nachteil ist nur, dass man die senkrechten Geraden (die ja keine Funktionen sind und deswegen auch keine Steigung haben) separat untersuchen muss.
Ich würde da doch die Darstellung einer Geaden mittels Vektoren heranziehen:
[mm] $g_1:\ \vec x=\vec p_1 [/mm] + [mm] t*\vec{u_1}$
[/mm]
[mm] $g_2:\ \vec x=\vec p_2 [/mm] + [mm] t*\vec{u_2}$
[/mm]
Dann kann man die Parallelität schön fassen mit [mm] $g_1\parallel g_2\ \Longleftrightarrow\ \exists\lambda\in\IR\ [/mm] :\ [mm] \vec{u_1}=\lambda*\vec{u_2}$
[/mm]
(In Worten: Zwei Geraden sind parallel genau denn, wenn die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind bzw. linear abhängig sind bzw. kollinear sind)
> =>
>
> reflexiv: [mm]m_1=m_1[/mm] erfüllt
>
> symmetrisch: [mm]m_1[/mm] = [mm]m_2[/mm] => [mm]m_2[/mm] = [mm]m_1[/mm] ebenfalls erfüllt
>
> transitiv: [mm]m_1[/mm] = [mm]m_2 \wedge m_2[/mm] = [mm]m_3[/mm] => [mm]m_1[/mm] = [mm]m_3[/mm]
>
> auch das stimmt.
Das ist natürlich auch noch ausführlich zu zeigen, ich mache es mal für die Reflexivität vor:
Sei [mm] $g_1:\ \vec x=\vec [/mm] p + [mm] t*\vec{u}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ \vec{u}=\lambda*\vec{u}$ [/mm] mit [mm] $\lambda:=1$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ g\parallel [/mm] g$ (siehe meine Definition oben)
> Nun die Frage zu den Äquivalenzklassen.
>
> Wie genau gehe ich nun vor?
>
> Ich weiß, dass die Vereinigung der Klassen die Menge G
> ergeben muss.
>
> [mm]\bigcup_{i=1}^{n} K_i[/mm] = G
>
> [mm]K_i[/mm] (mit i=0,1,2.....n)
Es ist klar, dass eine Äquivalenzklasse nur aus parallelen Geraden besteht. Zum Beispiel liegt in der Äquivalenzklasse, in der auch die Gerade $h:\ vec [mm] x=\vektor{0\\0}+t*\vektor{1\\2}$, [/mm] liegt, alle Geraden mit beliebigem Stützvektor aber gleichem Richtungsvektor
$g:\ vec [mm] x=\vektor{\alpha_1\\\alpha_2}+t*\vektor{1\\2}$
[/mm]
Dies wäre erste eine, aber immerhin komplett beschriebene Äquivalenzklasse:
[mm] $K_{1,2}=\left\{g\ |\ g:\ \exists\alpha_1,\alpha_2\in\IR\ :\vec x=\vektor{\alpha_1\\\alpha_2}+t*\vektor{1\\2}\right\}$
[/mm]
(In dieser Beschreibung der Klasse sind alle Geraden, die parallel zu der Geraden h (siehe oben) sind, erfasst. Das solltest Du Dir klar machen.)
Wenn Du wirklich alle Äquivalenzklassen angeben möchtest, solltest Du Dir vielleicht möglichst einfache Repräsentanten suchen, z.B. (wie oben) Ursprungsgeraden. Die Richtungsvektoren könntest Du auf einem Einheitskreis rotieren lassen... ich möchte mal nicht zu viel verraten, aber vielleicht gibt es ja noch eine einfachere Darstellung.
Gruß, Frusciante
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:11 Do 14.09.2006 | | Autor: | FlorianJ |
Besten Dank!
Alles kapiert :)
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