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äquivalenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:18 Mi 01.06.2005
Autor: Dschingis

ich habe eine funktion [mm] f:\IR^{n}->\IR [/mm] die diff'bar ist und eine zahl k [mm] \geq [/mm] 1, wobei k eine ganze zahl ist
ich möchte jetzt zeigen, dass folgende aussagen äquivalent sind, verwzeifle aber total daran
weil ich nicht mal einen ansatz finde:

a) [mm] f(tx)=t^{k} [/mm] f(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] und t [mm] \in \IR_{>0} [/mm]

b)<x,grad f(x)> = kf(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR^{n} [/mm] wobei hier <x,grad f(x)> als
[mm] \summe^{n}_{i=1} x_{i} \frac{d}{dx_{i}} [/mm] f definiert ist (die d sind die partiellen ableitungen, habe nur keinen
latex-befehl dafür gefunden, wenn mir jemand dafür einen befehl sagen könnte, das wäre super)

soweit zu aufgabenstellung, wie gesagt, ich brüte darüber und finde keinen ansatzpunkt

wenn mir jemand damit helfen könnte, wäre super

danke im voraus

greetz

dschingis

        
Bezug
äquivalenz: \partial
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:05 Mi 01.06.2005
Autor: banachella

Hallo!

Der Befehl, um partielle Ableitungen darzustellen, ist \partial: [mm] $\partial$ [/mm]

Gruß, banachella

Bezug
        
Bezug
äquivalenz: a) => b)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:47 Fr 03.06.2005
Autor: banachella

Hallo!

Für die Rückrichtung fehlt mir im Moment noch der Ansatz, aber die Hinrichtung geht wie folgt:
Definiere die Funktion [mm] $g_x:\ \IR^+\to \IR^n,\ t\mapsto [/mm] tx$, wobei [mm] $x\in\IR^n$. [/mm]
Insbesondere ist $f(g(t))=f(tx)$.
Es gilt: [mm] $\bruch{d}{dt}f(tx)=\bruch {d}{dt}t^k f(x)=kt^{k-1}f(x)$. [/mm]
Und nach der Kettenregel: [mm] $\bruch{d}{dt}f(g(t))=\mathrm{grad}\,(f)(g(t))*\bruch{d}{dt}g(t)=\mathrm{grad}\,(f)(g(t))*x=\langle x;\mathrm{grad}\,(f)(g(t))\rangle$. [/mm]
Jetzt setze beidesmal $t=1$...

An der Rückrichtung knacke ich noch. Mal kucken...

Gruß, banachella

Bezug
        
Bezug
äquivalenz: b) => a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:00 Fr 03.06.2005
Autor: Julius

Hallo!

Definiere

$g(t):=f(tx)$.

Dann gilt:

$g(t)-g(1) = [mm] \int\limits_1^t \langle [/mm] grad(f(sx)),x [mm] \rangle \, [/mm] ds = k [mm] \int\limits_1^t \frac{1}{s}g(s)\, [/mm] ds$.

Daraus folgt: $g$ genügt dem AWP

$g'(t) = [mm] \frac{k}{t}g(t)$, [/mm]
$g(1)=f(x)$.

Die Lösung dieses AWP ist aber eindeutig gegeben durch

$g(t) = [mm] t^k \cdot [/mm] f(x)$.

Viele Grüße
Julius

Bezug
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