Äquivalenz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei (X,d) vollständiger metrischer Raum und T:X [mm] \to [/mm] X eine Kontraktion, d.h. es gilt [mm] d(T(x),T(y))\le \lambda [/mm] d(x,y) für alle x,y [mm] \in [/mm] X mit einem [mm] \lambda [/mm] <1. Zz, dass T genau einen Fixpunkt y in X besitzt, d.h. sei x [mm] \in [/mm] X, T(x)=x genau dann wenn x=y. |
Moin ihr lieben,
ich muss dann ja wohl die Äquivalenz zeigen, für eine richtung geht das auch, nur andersherum, komm ich einfach nicht auf T(x)=x... also erstmal was ich habe:
Seien x,y [mm] \in [/mm] X mit T(x)=x und T(y)=y UND ich nehme an x [mm] \not= [/mm] y dann:
0<d(x,y)=d(T(x),T(y)) [mm] \le \lambda [/mm] d(x,y)< d(x,y) . WIDERSPRUCH!!^^ also muss x=y sein
wenn ich jetzt aber mit x=y anfange, bekomme ich nicht T(x)=x raus...
also z.b. so
[mm] 0=d(x,x)=d(x,y)>\lambda [/mm] d(x,y) ....aber wie jetzt weitermachen?? diese kontaktion kann ich ja nicht benutzen, denn ich muss ja zeige, dass T(x)=x und T(y)=y....
hat jemand ne idee??
Daanke und einen wunderschönen Tag
pythagora
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:33 Sa 07.05.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du musst zwei Dinge zeigen:
1) Die Existenz einer Lösung
2) Die Eindeutigkeit der Lösung
Zu 1)
Definiere die Folge [mm] x_{n+1}=T(x_n) [/mm] und zeige das [mm] x_{n+1} [/mm] eine Cauchy-Folge ist. Danach zeige das der Grenzwert der so definierten Folge ein Fixpunkt ist.
Zu 2)
Die Eindeutigkeit geht auch ohne Widerspruch
Seien x und y Fixpunkte von f. Dann gilt:
[mm] d(x,y)=d(f(x),f(y))\le\lambda{d(x,y)} [/mm] deshalb gilt auch [mm] (1-\lambda){d(x,y)}\le{0} [/mm] und wegen [mm] 1-\lambda>0 [/mm] ist d(x,y)=0 und daher x=y
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Hi ullim,
danke für die antwort.
> 1) Die Existenz einer Lösung
> 2) Die Eindeutigkeit der Lösung
warum muss ich denn genau diese 2 sachen zeigen? und warum nicht diese äquivalenz??
> Zu 1)
> Definiere die Folge [mm]x_{n+1}=T(x_n)[/mm] und zeige das [mm]x_{n+1}[/mm]
> eine Cauchy-Folge ist. Danach zeige das der Grenzwert der
> so definierten Folge ein Fixpunkt ist.
da [mm] x_{n+1} [/mm] in einem vollst. metrischen raum liegt und da in so einem raum jede CF konvergiert wäre doch auch [mm] x_{n+1} [/mm] eine CF, oder?
oder müsste ich [mm] x_{n+1} [/mm] als konvergente folge definieren, weil ja auch jede konvergente folge in einem metrischen raum eine CF ist??
wie zeige ich denn, dass der Grenzwert ein fixpunkt ist? dazu müsste ich ja wissen, dass der punkt durch die abbildung auf sich selbst abgebildet wird, also f(x)=x gilt, aber wie bekomme ichj raus, ob das wirklich so ist?
Danke
pythagora
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:48 So 08.05.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
so wie ich die Aufgabe verstanden habe, musst Du doch zeigen das T genau einen Fixpunkt hat. Das bedeutet aber, T muss mindestens einen Fixpunkt haben und dieser muss zusätzlich noch eindeutig sein. Das sind die beiden Punkte die ich angeführt habe und von denen ich glaube das sie zu beweisen sind.
Durch die Konstruktion der Folge [mm] x_{n+1}=T(x_n) [/mm] sowie abschätzen von [mm] d(x_i,x_{i-1}) [/mm] und anschließendem abschätzen von [mm] d(x_n,x_{n+k}) [/mm] mittels Dreiecksungleichung unter Benutzung der Abschätzung für [mm] d(x_i,x_{i-1}) [/mm] kannst Du beweisen, dass [mm] x_n [/mm] eine Cauchy-Folge ist. Also ex. der Grenzwert und da der betrachtete Raum vollständig ist liegt der Grenzwert auch in ihm. Weil T eine Kontraktion ist, gilt (kleiner Beweis ist notwendig)
[mm] x=\limes_{n\rightarrow\infty}x_n=\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}T(x_n)=T\left(\limes_{n\rightarrow\infty}x_n\right)=T(x)
[/mm]
Also ist der gefundene Grenzwert ein Fixpunkt.
Die Eindeutigkeit ist ja klar.
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Hallo,
ok, klingt sinnvoll.
> Durch die Konstruktion der Folge [mm]x_{n+1}=T(x_n)[/mm] sowie
> abschätzen von [mm]d(x_i,x_{i-1})[/mm] und anschließendem
> abschätzen von [mm]d(x_n,x_{n+k})[/mm] mittels Dreiecksungleichung
> unter Benutzung der Abschätzung für [mm]d(x_i,x_{i-1})[/mm] kannst
> Du beweisen, dass [mm]x_n[/mm] eine Cauchy-Folge ist.
hier komm ich gerade nicht mit, ich habe eine def. für chauchyfolgen, dass der abstand zweier punkte der folge immer kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] sind... benutze ich das? ich verstehe nicht wie ich damit [mm] d(x_i,x_{i-1}) [/mm] abschätzen kann bzw wie ich [mm] d(x_i,x_{i-1}) [/mm] und [mm] d(x_n,x_{n+k}) [/mm] überhaupt abschätzen sollte????
> Also ex. der
> Grenzwert und da der betrachtete Raum vollständig ist
> liegt der Grenzwert auch in ihm. Weil T eine Kontraktion
> ist, gilt (kleiner Beweis ist notwendig)
>
> [mm]x=\limes_{n\rightarrow\infty}x_n=\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}T(x_n)=T\left(\limes_{n\rightarrow\infty}x_n\right)=T(x)[/mm]
hier verstehe ich zwei gleichheiten noch nicht, einmal
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n=\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n+1}
[/mm]
folgt das irdendwie aus dieser kontraktion?
und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}T(x_n)=T\left(\limes_{n\rightarrow\infty}x_n\right)
[/mm]
warum darf ich hier "tauschen"? ich kenne nur einen satz zum tauschen von limes und integral...
> Die Eindeutigkeit ist ja klar.
jop^^
>
LG
pythagora
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:47 So 08.05.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
[mm] d(x_i,x_{i-1})=d\left(T\left(x_{i-1}\right),T\left(x_{i-2}\right)\right)\le\lambda*{d\left(x_{i-1},x_{i-2}\right)} [/mm] Durch wiederholtes anwenden ergibt sich
[mm] d(x_i,x_{i-1})\le\lambda^{i-1}*{d(x_1,x_0)}=\lambda^{i-1}*{d(T(x_0),x_0)}
[/mm]
Weiterhin gilt (Dreiecksungleichung verwenden)
[mm] d(x_{n+k},x_n)\le\summe_{i=n+1}^{n+k}d(x_i,x_{i-1})\le\summe_{i=n+1}^{n+k}\lambda^{i-1}*{d\left(T\left(x_0\right),x_0\right)}
[/mm]
das kann man mittels geometrischer Reihe abschätzen und es folgt
[mm] d(x_{n+k},x_n)\le{d\left(T\left(x_0\right),x_0\right)}*\bruch{\lambda^n}{1-\lambda}
[/mm]
wegen [mm] 0\le\lambda<1 [/mm] wird die rechte Seite beliebig klein für wachsendes n und somit ist [mm] x_n [/mm] Cauchy-Folge die konvergiert (benutze hier die Vollständigkeit von X). Ich habe hier die Bedingung für [mm] \lambda [/mm] auf [mm] 0\le\lambda<1 [/mm] erweitert, ich geh davon aus das es in der Aufgabe so angegeben war.
Wenn die Folge [mm] x_n [/mm] gegen x konvergiert dann konvergiert auch [mm] x_{n+1} [/mm] gegen x und aus
[mm] d(T(x_n),T(x))\le\lambda*d(x_n,x) [/mm] folgt, falls [mm] d(x_n,x)<\bruch{\epsilon}{\lambda} [/mm] das [mm] d(T(x_n),T(x))<\epsilon [/mm] gilt für beliebiges [mm] \epsilon>0
[/mm]
D.h. [mm] T(x_n) [/mm] konvergiert gegen T(x) und es gilt x=T(x)
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Hallo,
Danke^^ ich hab aber noch ein paar fragen :)
> [mm]d(x_i,x_{i-1})=d\left(T\left(x_{i-1}\right),T\left(x_{i-2}\right)\right)\le\lambda*{d\left(x_{i-1},x_{i-2}\right)}[/mm]
> Durch wiederholtes anwenden ergibt sich
>
> [mm]d(x_i,x_{i-1})\le\lambda^{i-1}*{d(x_1,x_0)}=\lambda^{i-1}*{d(T(x_0),x_0)}[/mm]
>
> Weiterhin gilt (Dreiecksungleichung verwenden)
>
> [mm]d(x_{n+k},x_n)\le\summe_{i=n+1}^{n+k}d(x_i,x_{i-1})\le\summe_{i=n+1}^{n+k}\lambda^{i-1}*{d\left(T\left(x_0\right),x_0\right)}[/mm]
>
> das kann man mittels geometrischer Reihe abschätzen und es
> folgt
>
> [mm]d(x_{n+k},x_n)\le{d\left(T\left(x_0\right),x_0\right)}*\bruch{\lambda^n}{1-\lambda}[/mm]
bei einem teil komme ich da mit der Abschätzung nicht klar, ich kenne als abschätzung nur [mm] \bruch{1}{1-\lambda} [/mm] wie kommst du auf [mm] \lambda^n??
[/mm]
die reihe konvergiert doch, weil dann die rechte seite gegen null geht, oder und die folge stets unterhalb dessen verläuft, was rechts steht, oder?
> wegen [mm]0\le\lambda<1[/mm] wird die rechte Seite beliebig klein
> für wachsendes n und somit ist [mm]x_n[/mm] Cauchy-Folge die
> konvergiert (benutze hier die Vollständigkeit von X). Ich
> habe hier die Bedingung für [mm]\lambda[/mm] auf [mm]0\le\lambda<1[/mm]
> erweitert, ich geh davon aus das es in der Aufgabe so
> angegeben war.
wir haben nur stehen [mm] 1>\lambda [/mm] ..ändert das was?
> Wenn die Folge [mm]x_n[/mm] gegen x konvergiert dann konvergiert
> auch [mm]x_{n+1}[/mm] gegen x und aus
aber warum konvergiert die folge nun gegen x?
> [mm]d(T(x_n),T(x))\le\lambda*d(x_n,x)[/mm] folgt, falls
> [mm]d(x_n,x)<\bruch{\epsilon}{\lambda}[/mm] das
> [mm]d(T(x_n),T(x))<\epsilon[/mm] gilt für beliebiges [mm]\epsilon>0[/mm]
das ist doch der beweis für die stetigkeit nach epsilon-delta-kriterium oder?
> D.h. [mm]T(x_n)[/mm] konvergiert gegen T(x) und es gilt x=T(x)
LG
pythagora
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 So 08.05.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
> [mm] d(x_{n+k},x_n)\le\summe_{i=n+1}^{n+k}d(x_i,x_{i-1})\le\summe_{i=n+1}^{n+k}\lambda^{i-1}\cdot{}{d\left(T\left(x_0\right),x_0\right)}
[/mm]
> das kann man mittels geometrischer Reihe abschätzen und es folgt
> [mm]d(x_{n+k},x_n)\le{d\left(T\left(x_0\right),x_0\right)}*\bruch{\lambda^n}{1-\lambda}[/mm]
> bei einem teil komme ich da mit der Abschätzung nicht
> klar, ich kenne als abschätzung nur [mm]\bruch{1}{1-\lambda}[/mm]
> wie kommst du auf [mm]\lambda^n??[/mm]
[mm] \summe_{i=n+1}^{n+k}\lambda^{i-1}\le \summe_{i=n}^{\infty}\lambda^i=\bruch{1}{1-\lambda}-\bruch{1-\lambda^n}{1-\lambda}=\bruch{\lambda^n}{1-\lambda}
[/mm]
> die reihe konvergiert doch, weil dann die rechte seite
> gegen null geht, oder und die folge stets unterhalb dessen
> verläuft, was rechts steht, oder?
Die rechte Seite wird immer kleiner und konvergiert gegen 0 und die linke Seite ist immer [mm] \ge [/mm] 0, damit konvergiert die Reihe.
> > wegen [mm]0\le\lambda<1[/mm] wird die rechte Seite beliebig klein
> > für wachsendes n und somit ist [mm]x_n[/mm] Cauchy-Folge die
> > konvergiert (benutze hier die Vollständigkeit von X). Ich
> > habe hier die Bedingung für [mm]\lambda[/mm] auf [mm]0\le\lambda<1[/mm]
> > erweitert, ich geh davon aus das es in der Aufgabe so
> > angegeben war.
> wir haben nur stehen [mm]1>\lambda[/mm] ..ändert das was?
Wenn [mm] \lambda [/mm] nicht [mm] \ge [/mm] 0 gilt, könnte [mm] \lambda [/mm] auch z.B. den Wert -10 annehmen und dann konvergiert [mm] \lambda^n [/mm] nicht mehr gegen 0.
> > Wenn die Folge [mm]x_n[/mm] gegen x konvergiert dann konvergiert
> > auch [mm]x_{n+1}[/mm] gegen x und aus
> aber warum konvergiert die folge nun gegen x?
Wenn [mm] x_n [/mm] gegen x konvergiert [mm] \exists\mbox{ N}\in\IN [/mm] s.d. [mm] d(x_n,x)<\epsilon [/mm] für [mm] n\ge [/mm] N. Also ist auch [mm] d(x_{n+1},x)<\epsilon [/mm] für [mm] n\ge [/mm] N
> > [mm]d(T(x_n),T(x))\le\lambda*d(x_n,x)[/mm] folgt, falls
> > [mm]d(x_n,x)<\bruch{\epsilon}{\lambda}[/mm] das
> > [mm]d(T(x_n),T(x))<\epsilon[/mm] gilt für beliebiges [mm]\epsilon>0[/mm]
> das ist doch der beweis für die stetigkeit nach
> epsilon-delta-kriterium oder?
Ja
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hallo,
vielen dank, dass du mir so nett hilfst^^
> >
> [mm]d(x_{n+k},x_n)\le{d\left(T\left(x_0\right),x_0\right)}*\bruch{\lambda^n}{1-\lambda}[/mm]
> > bei einem teil komme ich da mit der Abschätzung nicht
> > klar, ich kenne als abschätzung nur [mm]\bruch{1}{1-\lambda}[/mm]
> > wie kommst du auf [mm]\lambda^n??[/mm]
>
> [mm]\summe_{i=n+1}^{n+k}\lambda^{i-1}\le \summe_{i=n}^{\infty}\lambda^i=\bruch{1}{1-\lambda}-\bruch{1-\lambda^n}{1-\lambda}=\bruch{\lambda^n}{1-\lambda}[/mm]
ok, aber wieso ziehst du [mm] \bruch{1-\lambda^n}{1-\lambda} [/mm] ab? wie kommst du darauf?
und in welchem teil ist jetzt gezeigt, dass der Grenzwert der Fixpunkt ist?
LG
pythagora
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:23 Mo 09.05.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
> [mm]\summe_{i=n+1}^{n+k}\lambda^{i-1}\le \summe_{i=n}^{\infty}\lambda^i=\bruch{1}{1-\lambda}-\bruch{1-\lambda^n}{1-\lambda}=\bruch{\lambda^n}{1-\lambda}[/mm]
>
> ok, aber wieso ziehst du [mm]\bruch{1-\lambda^n}{1-\lambda}[/mm] ab?
> wie kommst du darauf?
[mm] \summe_{i=n}^{\infty}\lambda^i=\summe_{i=0}^{\infty}\lambda^i-\summe_{i=0}^{n-1}\lambda^i
[/mm]
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}\lambda^i=\bruch{1}{1-\lambda}
[/mm]
[mm] \summe_{i=0}^{n-1}\lambda^i=\bruch{1-\lambda^n}{1-\lambda} [/mm] s. ![[]](/images/popup.gif) hier
> und in welchem teil ist jetzt gezeigt, dass der Grenzwert
> der Fixpunkt ist?
[mm] x=\limes_{n\rightarrow\infty}x_n=\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}T(x_n)=T\left(\limes_{n\rightarrow\infty}x_n\right)=T(x)
[/mm]
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Hallo^^
ich bin nochmal alles durchgegangen. Ist soweit alles klar, bis auf eine (diesmal wirklich) letzte Frage: warum gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}T(x_n)=T\left(\limes_{n\rightarrow\infty}x_n\right)
[/mm]
??
Das war aus:
> [mm]x=\limes_{n\rightarrow\infty}x_n=\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}T(x_n)=T\left(\limes_{n\rightarrow\infty}x_n\right)=T(x)[/mm]
LG
pythagora
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:48 Di 10.05.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
da [mm] x_n\to [/mm] x konvergiert, gilt [mm] d(x_n,x)<\delta [/mm] für [mm] n>N\in\IN.
[/mm]
Weiter gilt für [mm] n>N\in\IN:
[/mm]
[mm] d(T(x_n),T(x))\le\lambda\cdot{}d(x_n,x)<\lambda*\delta<\epsilon [/mm] falls [mm] \delta=\bruch{\epsilon}{\lambda} [/mm] gewählt wird.
Also konvergiert [mm] T(x_n)\to [/mm] T(x), d.h. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}T(x_n)=T(x)=T(\limes_{n\rightarrow\infty}x_n))
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 Di 10.05.2011 | | Autor: | pythagora |
Ich danke dir!
LG
pythagora
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